자연계열 2-3번

오른쪽 그림과 같이 지름의 양 끝점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$가 각각 $\displaystyle (-2,0)$, $\displaystyle (2,0)$이고 호가 $\displaystyle x$축 위쪽에 있도록 반원을 좌표평면에 두자.두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$를 각각 $\displaystyle (a,b)$, $\displaystyle (c,d)$라 하고, 선분 PQ의 중점 O를 $\displaystyle (x,y)$라 하면,$\displaystyle a^{2}+b^{2}=4,\quad c^{2}+d^{2}=4,\quad \frac{a+c}{2}=x,\quad \frac{b+d}{2}=y,$$\displaystyle \sqrt{(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}=(2y)^{2}$Correction. 대학 예시답안의 $\displaystyle \sqrt{(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}=(2y)^{2}$에서 좌변은 선분 PQ의 길이이므로, 우변은 $\displaystyle 2y$여야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 성립한다.

$\displaystyle a,b,c,d$를 소거하고, $\displaystyle y$에 대해 정리하면 $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4-x^{2}}$이다. 따라서 구하는 도형은 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4-x^{2}}$ 과 선분 AB로 둘러싸인 도형이다 (이때 $\displaystyle -2\le x\le 2$이고 $\displaystyle 0\le y\le\sqrt{2}$이다).

이 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx$ 이고, $\displaystyle \int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx$ 는 반지름 $\displaystyle 2$인 반원의 넓이이므로 $\displaystyle 2\pi$이므로, 구하는 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\times 2\pi=\sqrt{2}\pi$이다.