자연계열 2-2번

점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$의 좌표를 $\displaystyle (x_{1},y_{1})$이라 두자. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$에서 포물선에 접하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y_{1}y=2p(x+x_{1})$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{H}_{2}$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac{2p(-p+x_{1})}{y_{1}}$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$의 좌표를 $\displaystyle (x_{2},y_{2})$이라 두면 $\displaystyle y_{2}=\frac{2p(-p+x_{1})}{y_{1}}$이므로 $\displaystyle y_{2}^{2}=4px_{2}$로부터 $\displaystyle x_{2}=\frac{(x_{1}-p)^{2}}{4x_{1}}$을 얻는다. 이제 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{3}$의 좌표를 $\displaystyle (x_{3},y_{3})$라 두면 동일한 방법을 통해 $\displaystyle x_{3}=\frac{(x_{2}-p)^{2}}{4x_{2}}$을 얻는다.

이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{1}\mathrm{H}_{1}}=x_{1}+p$, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{2}\mathrm{H}_{2}}=x_{2}+p$, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{3}\mathrm{H}_{3}}=x_{3}+p$가 이 순서대로 등비수열의 연속된 세 항이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{2}\mathrm{H}_{2}}^{\,2}=\overline{\mathrm{P}_{1}\mathrm{H}_{1}}\times\overline{\mathrm{P}_{2}\mathrm{H}_{2}}$을 만족한다. 따라서Correction. 대학 예시답안의 등비수열 관계식에서 오른쪽 끝의 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{2}\mathrm{H}_{2}}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{3}\mathrm{H}_{3}}$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle (x_{2}+p)^{2}=(x_{1}+p)(x_{3}+p)=\frac{(x_{1}+p)(x_{2}+p)^{2}}{4x_{2}}$이므로 $\displaystyle x_{1}+p=4x_{2}=\frac{(x_{1}-p)^{2}}{x_{1}}$을 얻는다. 이로부터 $\displaystyle x_{1}=\frac{p}{3}$이다.