자연계열 1번

(1-1) 점 $\displaystyle (a,b)$를 지나고 기울기가 $\displaystyle m$인 직선은 $\displaystyle y=m(x-a)+b$이다. 직선이 포물선과 접할 조건은 $\displaystyle x^2-mx+(ma-b)=0$이 중근을 가질 때이므로 $\displaystyle D=m^2-4ma+4b=0$. 서로 다른 접선이 존재한다는 것과 $\displaystyle D=0$이 서로 다른 두 실근을 갖는 것은 같은 말이므로 $\displaystyle D$의 판별식 $\displaystyle D_D=4a^2-4b>0$이다. 따라서 $\displaystyle a^2>b$가 필요충분조건이 된다.

(1-2)(a) $\displaystyle (x_1,y_1)$과 $\displaystyle (x_2,y_2)$를 두 접점이라 하자. 제시문 (가)에 의하면, 각 접점에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{y+y_1}2=x_1x$, $\displaystyle \frac{y+y_2}2=x_2x$가 된다. 두 방정식이 $\displaystyle (a,b)$를 지나므로 $\displaystyle (x_1,y_1)$과 $\displaystyle (x_2,y_2)$이 모두 $\displaystyle \frac{y+b}2=ax$를 만족시킨다. 두 점을 지나는 직선이 유일하게 결정되므로 $\displaystyle \frac{y+b}2=ax$이 구하고자 하는 직선의 방정식이 된다.

(1-2)(b) 두 교점의 $\displaystyle x$좌표는 (a)의 방정식과 $\displaystyle y=x^2$의 연립방정식의 근이므로 $\displaystyle x^2-2ax+b=0$를 만족한다. 따라서 근과 계수의 관계에 의해서 $\displaystyle |x_1-x_2|=\sqrt{4a^2-4b}$가 되고, (a)의 직선의 기울기가 $\displaystyle 2a$이므로 피타고라스 정리에 의해서 두 교점사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{4a^2-4b}\sqrt{1+4a^2}$이 된다. 제시문 (나)에 의해서, $\displaystyle (a,b)$에서 (a)의 직선까지의 거리는 $\displaystyle \frac{|2b-2a^2|}{\sqrt{1+4a^2}}$이므로 삼각형의 넓이는 $\displaystyle 2(\sqrt{a^2-b})^3$이 된다. $\displaystyle b=-(a+2)^2$을 만족하므로 삼각형의 넓이의 최솟값은 $\displaystyle 2(\sqrt{a^2+(a+2)^2})^3=2(\sqrt{2a^2+4a+2+2})^3\ge4\sqrt2$이 된다.