의예과 3번

(3-1)$\displaystyle (a^2+1)(b^2+1)=(ab-1)^2+(a+b)^2\le((\frac{a+b}2)^2-1)^2+(a+b)^2=((\frac{a+b}2)^2+1)^2$

(3-2) 일반성을 잃지 않고 $\displaystyle a\le b\le c$라 하자. 그러면 $\displaystyle cd\ge1$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)&\le((\frac{a+b}2)^2+1)^2((\frac{c+d}2)^2+1)^2\\&\le((\frac{a+b+c+d}4)^2+1)^4=((\frac{a+b+c}3)^2+1)^4\end{aligned}$이므로 부등식이 성립한다.

(3-3) 수학적 귀납법을 써서 증명하자. $\displaystyle n=2$일 때는 성립함을 앞에서 보였다.$\displaystyle n=k-1$일 때 부등식이 성립한다고 가정하자. $\displaystyle A_j=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_j}j$라고 하고 일반성을 잃지 않고 $\displaystyle a_k$가 $\displaystyle a_1,\cdots,a_k$ 중 가장 큰 수라 하자. 그러면

$\displaystyle (a_1^2+1)\cdots(a_{k-1}^2+1)\le(A_{k-1}^2+1)^{k-1}$이고$\displaystyle (a_k^2+1)(A_k^2+1)^{k-2}\le\left(\left(\frac{a_k+(k-2)A_k}{k-1}\right)^2+1\right)^{k-1}\quad(\because a_kA_k\ge1)$이다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}(a_1^2+1)\cdots(a_k^2+1)(A_k^2+1)^{k-2}&=(a_1^2+1)\cdots(a_{k-1}^2+1)\times(a_k^2+1)(A_k^2+1)^{k-2}\\&\le(A_{k-1}^2+1)^{k-1}\left[\left(\frac{a_k+(k-2)A_k}{k-1}\right)^2+1\right]^{k-1}\end{aligned}$이다. 한편 $\displaystyle n=2$일 때 부등식이 성립하므로

$\displaystyle (A_{k-1}^2+1)\left[\left(\frac{a_k+(k-2)A_k}{k-1}\right)^2+1\right]\le(A_k^2+1)^2$이다. 따라서$\displaystyle (a_1^2+1)\cdots(a_k^2+1)(A_k^2+1)^{k-2}\le(A_k^2+1)^{2k-2}$가 성립하므로, 주어진 부등식이 $\displaystyle n=k$일 때 성립한다.