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자연계열 (오후) 1번

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인하대 2020학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2020su/jayeon_pm_1

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문제

(가) 두 점 A,B\displaystyle A,B의 위치벡터를 각각 a⃗,b⃗\displaystyle \vec a,\vec b라고 할 때, 선분 AB\displaystyle AB를 m:n  (m>0,n>0)\displaystyle m:n\;(m>0,n>0)으로 내분하는 점 P\displaystyle P의 위치벡터 p⃗\displaystyle \vec p는 다음과 같다.p⃗=mb⃗+na⃗m+n\displaystyle \vec p=\frac{m\vec b+n\vec a}{m+n}

(나) 영벡터가 아닌 두 평면벡터 a⃗,b⃗\displaystyle \vec a,\vec b가 이루는 각의 크기가 θ  (0≤θ≤π)\displaystyle \theta\;(0\le\theta\le\pi)일 때,a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta

(다) 세 평면 벡터 a⃗,b⃗,c⃗\displaystyle \vec a,\vec b,\vec c와 실수 k\displaystyle k에 대하여a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗,a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗,(ka⃗)⋅b⃗=a⃗⋅(kb⃗)=k(a⃗⋅b⃗)\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a,\quad\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c,\quad(k\vec a)\cdot\vec b=\vec a\cdot(k\vec b)=k(\vec a\cdot\vec b)

(*) 평행사변형 ABCD\displaystyle ABCD에 대하여 선분 BC\displaystyle BC 위의 점을 P\displaystyle P, 선분 CD\displaystyle CD를 3:1\displaystyle 3:1로 내분한 점을 S\displaystyle S, 선분 PS\displaystyle PS가 선분 AC\displaystyle AC와 만나는 점을 Q\displaystyle Q라 하고 b⃗=AB→\displaystyle \vec b=\overrightarrow{AB}, d⃗=AD→\displaystyle \vec d=\overrightarrow{AD}라고 하자.

평행사변형 ABCD와 선분 PS, AC의 교점 Q

(1-1) Q\displaystyle Q가 선분 PS\displaystyle PS를 m:n\displaystyle m:n으로 내분하는 점일 때, AP→\displaystyle \overrightarrow{AP}를 m,n,b⃗,d⃗\displaystyle m,n,\vec b,\vec d로 나타내시오. (8점)

(1-2) ∣b⃗∣=2\displaystyle |\vec b|=2, ∣d⃗∣=32\displaystyle |\vec d|=\frac32, b⃗⋅d⃗=35\displaystyle \vec b\cdot\vec d=\frac35이고 점 R\displaystyle R은 2RA→+3RP→+2RS→=0⃗\displaystyle 2\overrightarrow{RA}+3\overrightarrow{RP}+2\overrightarrow{RS}=\vec0을 만족하는 삼각형 APS\displaystyle APS의 내부점이라 하자.(a) ∠ASP=π2\displaystyle \angle ASP=\frac\pi2일 때, AP→\displaystyle \overrightarrow{AP}를 b⃗\displaystyle \vec b와 d⃗\displaystyle \vec d로 나타내시오. (10점)(b) ∠ASP=π2\displaystyle \angle ASP=\frac\pi2일 때, 삼각형 RPS\displaystyle RPS의 넓이를 구하시오. (12점)

해설강의 준비중

인하대 2020학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2020su/jayeon_pm_1

+2점 · AS→=14b⃗+d⃗\displaystyle \overrightarrow{AS}=\frac14\vec b+\vec d와 AP→=b⃗+td⃗  (0≤t≤1)\displaystyle \overrightarrow{AP}=\vec b+t\vec d\;(0\le t\le1)로 나타내면

(1-1) 제시문 (가)에 의해AS→=3AD→+AC→3+1=34AD→+14AC→=34d⃗+14(b⃗+d⃗)=14b⃗+d⃗\displaystyle \overrightarrow{AS}=\frac{3\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}}{3+1}=\frac34\overrightarrow{AD}+\frac14\overrightarrow{AC}=\frac34\vec d+\frac14(\vec b+\vec d)=\frac14\vec b+\vec d이다.AP→=b⃗+td⃗  (0≤t≤1)\displaystyle \overrightarrow{AP}=\vec b+t\vec d\;(0\le t\le1)라 하면, 제시문 (가)에 의해

+2점 · AQ→=m4+nm+nb⃗+m+tnm+nd⃗\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{\frac m4+n}{m+n}\vec b+\frac{m+tn}{m+n}\vec d를 구하면

AQ→=mAS→+nAP→m+n=mm+n(14b⃗+d⃗)+nm+n(b⃗+td⃗)=m4+nm+nb⃗+m+tnm+nd⃗\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{m\overrightarrow{AS}+n\overrightarrow{AP}}{m+n}=\frac m{m+n}(\frac14\vec b+\vec d)+\frac n{m+n}(\vec b+t\vec d)=\frac{\frac m4+n}{m+n}\vec b+\frac{m+tn}{m+n}\vec d이다.

+4점 · t=1−3m4n\displaystyle t=1-\frac{3m}{4n}를 구하고 AP→=b⃗+(1−3m4n)d⃗\displaystyle \overrightarrow{AP}=\vec b+(1-\frac{3m}{4n})\vec d로 나타내면

AQ→\displaystyle \overrightarrow{AQ}가 AC→=b⃗+d⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=\vec b+\vec d와 평행이므로 t=1−3m4n\displaystyle t=1-\frac{3m}{4n}이고 AP→=b⃗+(1−3m4n)d⃗\displaystyle \overrightarrow{AP}=\vec b+(1-\frac{3m}{4n})\vec d이다.

+3점 · SP→=34b⃗−td⃗  (0≤t≤1)\displaystyle \overrightarrow{SP}=\frac34\vec b-t\vec d\;(0\le t\le1)로 나타내면

(1-2) (a) SP→=34b⃗−td⃗\displaystyle \overrightarrow{SP}=\frac34\vec b-t\vec d, (0≤t≤1)\displaystyle (0\le t\le1)이라 하면 제시문 (나), (다)에 의해서

+5점 · 0=AS→⋅SP→=316∣b⃗∣2−14tb⃗⋅d⃗+34b⃗⋅d⃗−t∣d⃗∣2\displaystyle 0=\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{SP}=\frac3{16}|\vec b|^2-\frac14t\vec b\cdot\vec d+\frac34\vec b\cdot\vec d-t|\vec d|^2을 이용하여 t=12\displaystyle t=\frac12를 구하면

0=AS→⋅SP→=(14b⃗+d⃗)⋅(34b⃗−td⃗)=316∣b⃗∣2−14tb⃗⋅d⃗+34b⃗⋅d⃗−t∣d⃗∣2\displaystyle 0=\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{SP}=(\frac14\vec b+\vec d)\cdot(\frac34\vec b-t\vec d)=\frac3{16}|\vec b|^2-\frac14t\vec b\cdot\vec d+\frac34\vec b\cdot\vec d-t|\vec d|^2를 만족해야 하므로 t=12\displaystyle t=\frac12를 얻는다.

+2점 · AP→=b⃗+12d⃗\displaystyle \overrightarrow{AP}=\vec b+\frac12\vec d로 나타내면

따라서, AP→=b⃗+12d⃗\displaystyle \overrightarrow{AP}=\vec b+\frac12\vec d이다.

+6점 · Q\displaystyle Q가 선분 PS\displaystyle PS를 m:n=2:3\displaystyle m:n=2:3으로 내분한 점임을 구하고 2RA→+3RP→+2RS→=0⃗\displaystyle 2\overrightarrow{RA}+3\overrightarrow{RP}+2\overrightarrow{RS}=\vec0를 이용하여 A,R,Q\displaystyle A,R,Q가 한 직선상에 있고 AR→:RQ→=5:2\displaystyle \overrightarrow{AR}:\overrightarrow{RQ}=5:2임을 구하면 (또는 AS\displaystyle AS의 중점을 M\displaystyle M이라 하고 2RA→+3RP→+2RS→=0⃗\displaystyle 2\overrightarrow{RA}+3\overrightarrow{RP}+2\overrightarrow{RS}=\vec0를 이용하여 R\displaystyle R이 MP\displaystyle MP를 3:4\displaystyle 3:4로 내분하는 점임을 보이거나 2RA→+3RP→+2RS→=0⃗\displaystyle 2\overrightarrow{RA}+3\overrightarrow{RP}+2\overrightarrow{RS}=\vec0를 적절히 변형하여 R\displaystyle R의 위치를 정확히 구하면) △RPS=27△APS\displaystyle \triangle RPS=\frac27\triangle APS 또는 △RPS=47△MPS\displaystyle \triangle RPS=\frac47\triangle MPS을 보이면 (단, 설명없이 △RAP:△RAS:△RPS=2:3:2\displaystyle \triangle RAP:\triangle RAS:\triangle RPS=2:3:2임을 언급만 하고 △RPS=27△APS\displaystyle \triangle RPS=\frac27\triangle APS를 언급한 학생 감점)

(b) AP→=b⃗+12d⃗\displaystyle \overrightarrow{AP}=\vec b+\frac12\vec d이므로 (1-1)에 의해 Q\displaystyle Q는 선분 PS\displaystyle PS를 m:n=2:3\displaystyle m:n=2:3으로 내분하는 점이다.제시문 (가)에 의해 RQ→=2RS→+3RP→2+3=25RS→+35RP→\displaystyle \overrightarrow{RQ}=\frac{2\overrightarrow{RS}+3\overrightarrow{RP}}{2+3}=\frac25\overrightarrow{RS}+\frac35\overrightarrow{RP}이고 2RA→+3RP→+2RS→=0⃗\displaystyle 2\overrightarrow{RA}+3\overrightarrow{RP}+2\overrightarrow{RS}=\vec0이므로 5RQ→=2AR→\displaystyle 5\overrightarrow{RQ}=2\overrightarrow{AR}이다. 즉, 점 A,R,Q\displaystyle A,R,Q는 한 직선상에 있고 AR→:RQ→=5:2\displaystyle \overrightarrow{AR}:\overrightarrow{RQ}=5:2이므로 △RAP:△RAS:△RPS=2:3:2\displaystyle \triangle RAP:\triangle RAS:\triangle RPS=2:3:2이다. 한편, △APS=12∣AS→∣∣SP→∣\displaystyle \triangle APS=\frac12|\overrightarrow{AS}||\overrightarrow{SP}|이므로

+6점 · △RPS=3620\displaystyle \triangle RPS=\frac{3\sqrt6}{20}를 구하면

AS→⋅AS→=(14b⃗+d⃗)⋅(14b⃗+d⃗)=116∣b⃗∣2+12b⃗⋅d⃗+∣d⃗∣2=145\displaystyle \overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AS}=(\frac14\vec b+\vec d)\cdot(\frac14\vec b+\vec d)=\frac1{16}|\vec b|^2+\frac12\vec b\cdot\vec d+|\vec d|^2=\frac{14}5SP→⋅SP→=(34b⃗−12d⃗)⋅(34b⃗−12d⃗)=916∣b⃗∣2−34b⃗⋅d⃗+14∣d⃗∣2=18980\displaystyle \overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{SP}=(\frac34\vec b-\frac12\vec d)\cdot(\frac34\vec b-\frac12\vec d)=\frac9{16}|\vec b|^2-\frac34\vec b\cdot\vec d+\frac14|\vec d|^2=\frac{189}{80}로부터 △APS=21640\displaystyle \triangle APS=\frac{21\sqrt6}{40}이다. 따라서 삼각형 RPS\displaystyle RPS의 넓이는 27△APS=3620\displaystyle \frac27\triangle APS=\frac{3\sqrt6}{20}이다.

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