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자연계열 (오후) 3번

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인하대 2020학년도 수시 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2020su/jayeon_pm_3

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문제

(가) 4차방정식 x4+ax3+bx2+cx+d=0\displaystyle x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 (a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d는 상수)이 서로 다른 4개의 실근 α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4를 가지면, 등식x4+ax3+bx2+cx+d=(x−α1)(x−α2)(x−α3)(x−α4)=x4−(α1+α2+α3+α4)x3+(α1α2+α1α3+α1α4+α2α3+α2α4+α3α4)x2−(α1α2α3+α1α2α4+α1α3α4+α2α3α4)x+α1α2α3α4\displaystyle \begin{aligned}x^4+ax^3+bx^2+cx+d&=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)\\&=x^4-(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)x^3+(\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3+\alpha_2\alpha_4+\alpha_3\alpha_4)x^2\\&\quad-(\alpha_1\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_2\alpha_4+\alpha_1\alpha_3\alpha_4+\alpha_2\alpha_3\alpha_4)x+\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4\end{aligned}가 성립하므로, 근과 계수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.α1+α2+α3+α4=−a,α1α2+α1α3+α1α4+α2α3+α2α4+α3α4=b,α1α2α3+α1α2α4+α1α3α4+α2α3α4=−c,α1α2α3α4=d\displaystyle \begin{aligned}\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4&=-a,\\\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3+\alpha_2\alpha_4+\alpha_3\alpha_4&=b,\\\alpha_1\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_2\alpha_4+\alpha_1\alpha_3\alpha_4+\alpha_2\alpha_3\alpha_4&=-c,\\\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4&=d\end{aligned}

(나) 4차방정식 x4+ax3+bx2+cx+d=0\displaystyle x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0이 서로 다른 4개의 실근 α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 (α1<α2<α3<α4\displaystyle \alpha_1<\alpha_2<\alpha_3<\alpha_4)를 갖고, 계수 a,b,c\displaystyle a,b,c의 값과 α1+α2\displaystyle \alpha_1+\alpha_2의 값이 정해지면, 네 실근 α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4의 값이 모두 결정된다. 문제 (3-1)은 이 사실의 예시이다.

(다) (역함수의 미분법) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 열린 구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에서 미분가능하고, 그 역함수 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)가 존재하고 미분가능할 때, y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)의 도함수는 dydx=1dxdy\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}}이다.

(3-1) 4차방정식 x4−5x3+274x2−14x+k=0\displaystyle x^4-5x^3+\frac{27}{4}x^2-\frac14x+k=0이 서로 다른 4개의 실근 α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 (α1<α2<α3<α4\displaystyle \alpha_1<\alpha_2<\alpha_3<\alpha_4)를 갖고 α1+α2=12\displaystyle \alpha_1+\alpha_2=\frac12일 때, 상수 k\displaystyle k의 값을 구하시오.

(3-2) 4차함수 h(x)=(x−1)(x+1)(x+2)(x+3)\displaystyle h(x)=(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)에 대하여 t\displaystyle t가 −1<t<12\displaystyle -1<t<\frac12를 만족할 때, x\displaystyle x에 대한 방정식 h(x)=t\displaystyle h(x)=t의 네 실근 중에 가장 큰 값을 r(t)\displaystyle r(t)라고 하면, r(t)\displaystyle r(t)는 미분가능한 함수이다. 제시문 (다)를 이용하여 r′(0)\displaystyle r^{\prime}(0)의 값을 구하시오.

(3-3) f(x)\displaystyle f(x)는 최고차항의 계수가 1이고 모든 계수가 양수인 4차함수이다. 실수 t\displaystyle t에 대하여 x\displaystyle x에 대한 방정식 f(x)=t\displaystyle f(x)=t는 p<t<q\displaystyle p<t<q일 때 서로 다른 4개의 실근 x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4를 갖는다. (단, p,q\displaystyle p,q는 p<1,q>181\displaystyle p<1,q>181인 상수이고, x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4는 구간 (p,q)\displaystyle (p,q)에서 t\displaystyle t에 대하여 미분가능하다.) 이때, g(t)=∣x1∣+∣x2∣+∣x3∣+∣x4∣\displaystyle g(t)=|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|는 다음 세 조건을 만족한다.(1) g(t)\displaystyle g(t)는 t=1\displaystyle t=1에서 미분가능하지 않다.(2) p<t≤1\displaystyle p<t\le1일 때 g(t)=18\displaystyle g(t)=18이다.(3) g(181)=20\displaystyle g(181)=20, g′(181)=1154\displaystyle g^{\prime}(181)=\frac1{154}이다.이때, f(x)\displaystyle f(x)의 식을 구하시오.

해설강의 준비중

인하대 2020학년도 수시 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2020su/jayeon_pm_3

+3점 · 근과 계수와의 관계를 이용해서 9α1α2+α3α4=12\displaystyle 9\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=\frac12임을 찾아냄

(3-1) α1+α2=12\displaystyle \alpha_1+\alpha_2=\frac12이므로 α3+α4=92\displaystyle \alpha_3+\alpha_4=\frac92이다.(α1+α2)(α3+α4)+α1α2+α3α4=274\displaystyle (\alpha_1+\alpha_2)(\alpha_3+\alpha_4)+\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=\frac{27}{4}이므로, α1α2+α3α4=92\displaystyle \alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=\frac92.α1α2(α3+α4)+α3α4(α1+α2)=14\displaystyle \alpha_1\alpha_2(\alpha_3+\alpha_4)+\alpha_3\alpha_4(\alpha_1+\alpha_2)=\frac14이므로, 9α1α2+α3α4=12\displaystyle 9\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=\frac12.

+2점 · k\displaystyle k의 값을 구함. (위 방법이 아니더라도 k\displaystyle k의 값을 구해내면 점수 부여)

두 식을 연립하여 풀면, α1α2=−12\displaystyle \alpha_1\alpha_2=-\frac12, α3α4=5\displaystyle \alpha_3\alpha_4=5이므로, k=α1α2α3α4=−52\displaystyle k=\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4=-\frac52이다.(실제로 네 근은 −12,1,2,52\displaystyle -\frac12,1,2,\frac52이다.)

+5점 · r\displaystyle r과 h\displaystyle h가 역함수 관계임을 알아내고 r(0)=1\displaystyle r(0)=1임을 인지함

(3-2) r(0)=1\displaystyle r(0)=1이고 h′(1)=(1+1)(1+2)(1+3)=24\displaystyle h^{\prime}(1)=(1+1)(1+2)(1+3)=24이므로,

+5점 · r′(0)\displaystyle r^{\prime}(0)의 값을 정확히 구함. (역함수의 미분법을 사용하지 않은 경우에는 감점)

r′(0)=1h′(1)=124\displaystyle r^{\prime}(0)=\frac1{h^{\prime}(1)}=\frac1{24}이다.

+5점 · 조건 (1)로부터 f(0)=1\displaystyle f(0)=1임을 찾아냄

(3-3) 편의상 f(x)−t=0\displaystyle f(x)-t=0의 네 근을 크기 순서대로 x1<x2<x3<x4\displaystyle x_1<x_2<x_3<x_4라고 하자.g(t)\displaystyle g(t)는 t=1\displaystyle t=1에서 미분가능하지 않으므로 f(x)=1\displaystyle f(x)=1의 실근 중 하나는 0이고 따라서 f(0)=1\displaystyle f(0)=1이다.

+8점 · 조건 (2)로부터 t=1\displaystyle t=1일 때 x4=0\displaystyle x_4=0임을 알아내고, x3\displaystyle x^3의 계수를 찾아냄 (단, 제시문 (나)를 언급하지 않으면 감점)

이제, f(x)=x4+ax3+bx2+cx+1\displaystyle f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1이라고 하자. (단, a,b,c\displaystyle a,b,c는 상수) 4차함수의 그래프의 개형으로부터t=1\displaystyle t=1일 때 x1=0\displaystyle x_1=0이었다면 p<t≤1\displaystyle p<t\le1일 때 x1>0\displaystyle x_1>0이므로 g(t)=x1+x2+x3+x4=−a\displaystyle g(t)=x_1+x_2+x_3+x_4=-ax2=0\displaystyle x_2=0 또는 x3=0\displaystyle x_3=0이었다면 p<t≤1\displaystyle p<t\le1일 때g(t)=−x1−x2+x3+x4=−a−2(x1+x2)\displaystyle g(t)=-x_1-x_2+x_3+x_4=-a-2(x_1+x_2)는 상수가 될 수 없다.(제시문 (나)) x4=0\displaystyle x_4=0이었다면 p<t≤1\displaystyle p<t\le1일 때 g(t)=−x1−x2−x3−x4=a\displaystyle g(t)=-x_1-x_2-x_3-x_4=a.문제에서 a>0\displaystyle a>0이라 했으므로, t=1\displaystyle t=1일 때 x4=0\displaystyle x_4=0이고 a=18\displaystyle a=18이다.

+7점 · 조건 (3)을 이용해서 x2\displaystyle x^2과 x\displaystyle x의 계수를 찾아냄

t>1\displaystyle t>1일 때 x3<0,x4>0\displaystyle x_3<0,x_4>0이므로 g(t)=−x1−x2−x3+x4=18+2x4\displaystyle g(t)=-x_1-x_2-x_3+x_4=18+2x_4이고, t=181\displaystyle t=181일 때 x4=1\displaystyle x_4=1이다.따라서 f(1)=1+18+b+c+1=181\displaystyle f(1)=1+18+b+c+1=181,g′(181)=2f′(1)=24+3a+2b+c=258+2b+c=1154\displaystyle g^{\prime}(181)=\frac2{f^{\prime}(1)}=\frac2{4+3a+2b+c}=\frac2{58+2b+c}=\frac1{154}에서b+c=161,2b+c=250\displaystyle b+c=161,2b+c=250이므로, b=89,c=72\displaystyle b=89,c=72. 이때 f(x)=x4+18x3+89x2+72x+1\displaystyle f(x)=x^4+18x^3+89x^2+72x+1.

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