자연계열 (오후) 3번

(3-1) $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2=\frac12$이므로 $\displaystyle \alpha_3+\alpha_4=\frac92$이다.$\displaystyle (\alpha_1+\alpha_2)(\alpha_3+\alpha_4)+\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=\frac{27}{4}$이므로, $\displaystyle \alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=\frac92$.$\displaystyle \alpha_1\alpha_2(\alpha_3+\alpha_4)+\alpha_3\alpha_4(\alpha_1+\alpha_2)=\frac14$이므로, $\displaystyle 9\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=\frac12$.

두 식을 연립하여 풀면, $\displaystyle \alpha_1\alpha_2=-\frac12$, $\displaystyle \alpha_3\alpha_4=5$이므로, $\displaystyle k=\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4=-\frac52$이다.(실제로 네 근은 $\displaystyle -\frac12,1,2,\frac52$이다.)

(3-2) $\displaystyle r(0)=1$이고 $\displaystyle h^{\prime}(1)=(1+1)(1+2)(1+3)=24$이므로,

$\displaystyle r^{\prime}(0)=\frac1{h^{\prime}(1)}=\frac1{24}$이다.

(3-3) 편의상 $\displaystyle f(x)-t=0$의 네 근을 크기 순서대로 $\displaystyle x_1<x_2<x_3<x_4$라고 하자.$\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=1$에서 미분가능하지 않으므로 $\displaystyle f(x)=1$의 실근 중 하나는 0이고 따라서 $\displaystyle f(0)=1$이다.

이제, $\displaystyle f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1$이라고 하자. (단, $\displaystyle a,b,c$는 상수) 4차함수의 그래프의 개형으로부터$\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle x_1=0$이었다면 $\displaystyle p<t\le1$일 때 $\displaystyle x_1>0$이므로 $\displaystyle g(t)=x_1+x_2+x_3+x_4=-a$$\displaystyle x_2=0$ 또는 $\displaystyle x_3=0$이었다면 $\displaystyle p<t\le1$일 때$\displaystyle g(t)=-x_1-x_2+x_3+x_4=-a-2(x_1+x_2)$는 상수가 될 수 없다.(제시문 (나)) $\displaystyle x_4=0$이었다면 $\displaystyle p<t\le1$일 때 $\displaystyle g(t)=-x_1-x_2-x_3-x_4=a$.문제에서 $\displaystyle a>0$이라 했으므로, $\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle x_4=0$이고 $\displaystyle a=18$이다.

$\displaystyle t>1$일 때 $\displaystyle x_3<0,x_4>0$이므로 $\displaystyle g(t)=-x_1-x_2-x_3+x_4=18+2x_4$이고, $\displaystyle t=181$일 때 $\displaystyle x_4=1$이다.따라서 $\displaystyle f(1)=1+18+b+c+1=181$,$\displaystyle g^{\prime}(181)=\frac2{f^{\prime}(1)}=\frac2{4+3a+2b+c}=\frac2{58+2b+c}=\frac1{154}$에서$\displaystyle b+c=161,2b+c=250$이므로, $\displaystyle b=89,c=72$. 이때 $\displaystyle f(x)=x^4+18x^3+89x^2+72x+1$.