자연계열 (오후) 2번

(2-1) 정의에 의하여 $\displaystyle S(t)=\int_0^2|x-t|xe^{x^3}dx$이다. $\displaystyle t\ge2$이면

$\displaystyle S(t)=\int_0^2(t-x)xe^{x^3}dx=t\int_0^2xe^{x^3}dx-\int_0^2x^2e^{x^3}dx$이므로, $\displaystyle S(t)$는 증가한다.

(2-2) 마찬가지로 $\displaystyle t<0$일 때,$\displaystyle S(t)=\int_0^2(x-t)xe^{x^3}dx=\int_0^2x^2e^{x^3}dx-t\int_0^2xe^{x^3}dx$이므로 $\displaystyle S^{\prime}(0)=-\int_0^2xe^{x^3}dx$이다. $\displaystyle y=xe^{x^3}$는$\displaystyle y^{\prime}=(1+3x^3)e^{x^3},\quad y^{\prime\prime}=(12x^2+9x^5)e^{x^3}$로, $\displaystyle x>0$일 때 곡선 $\displaystyle y=xe^{x^3}$는 아래로 볼록하다. 곡선 $\displaystyle y=xe^{x^3}$의 $\displaystyle x=2$에서 접선을 구해보면

$\displaystyle y-2e^8=25e^8(x-2)$이다. 곡선이 아래로 볼록하므로

$\displaystyle \int_0^2xe^{x^3}dx=\int_0^{\frac{48}{25}}xe^{x^3}dx+\int_{\frac{48}{25}}^2xe^{x^3}dx>\int_{\frac{48}{25}}^2[25e^8(x-2)+2e^8]dx=\frac{2e^8}{25}$이다. 따라서 $\displaystyle S^{\prime}(0)<-\frac{2e^8}{25}$이다.

(2-3) $\displaystyle 0<t<2$일 때, $\displaystyle S(t)=\int_0^2|x-t|xe^{x^3}dx=\int_0^t(t-x)xe^{x^3}dx+\int_t^2(x-t)xe^{x^3}dx$이므로,$\displaystyle S^{\prime}(t)=\int_0^t xe^{x^3}dx-\int_t^2xe^{x^3}dx$이고 $\displaystyle S^{\prime\prime}(t)=2te^{t^3}>0$이다. (2-2)의 결과를 이용하면

$\displaystyle S^{\prime}(\frac32)=\int_0^{3/2}xe^{x^3}dx-\int_{3/2}^2xe^{x^3}dx<\frac32\times\frac32e^{\frac{27}{8}}-\frac{2}{25}e^8<\frac94e^4-\frac{2}{25}e^8<0$이므로 $\displaystyle 0<t<\frac32$일 때 $\displaystyle S^{\prime}(t)<0$이다.

또한 $\displaystyle t\le0$일 때 $\displaystyle S(t)=\int_0^2x^2e^{x^3}dx-t\int_0^2xe^{x^3}dx$이므로 $\displaystyle t<\frac32$일 때, $\displaystyle S(t)$는 감소한다. 따라서, $\displaystyle S(t)$는 $\displaystyle t=a>\frac32$에서 최솟값을 갖는다.