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자연계열 1번

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인하대 2021학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2021su/jayeon_1

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문제

[문제 1] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 계수가 실수인 삼차다항식 x3+ax2+bx+c\displaystyle x^3+ax^2+bx+c가 실수 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma에 대하여 (x−α)(x−β)(x−γ)\displaystyle (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)로 인수분해되는 경우, 삼차방정식 x3+ax2+bx+c=0\displaystyle x^3+ax^2+bx+c=0은 세 실근 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma를 갖는다고 한다.(단, α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma의 값이 서로 다를 필요는 없다.)

(나) 계수가 실수인 삼차방정식 x3+ax2+bx+c=0\displaystyle x^3+ax^2+bx+c=0이 세 실근 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma를 가지면, 등식x3+ax2+bx+c=(x−α)(x−β)(x−γ)=x3−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ\displaystyle \begin{aligned}x^3+ax^2+bx+c&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\&=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\end{aligned}가 성립하므로 근과 계수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.α+β+γ=−a,αβ+βγ+γα=b,αβγ=−c\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=-a,\quad\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b,\quad\alpha\beta\gamma=-c

(1-1) 삼차방정식 x3−x−t=0\displaystyle x^3-x-t=0이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 t\displaystyle t의 값의 범위를 구하시오. (8점)

(1-2) 삼차방정식 x3−x−t=0\displaystyle x^3-x-t=0이 세 실근 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma (α≤β≤γ\displaystyle \alpha\le\beta\le\gamma)를 갖는다.(a) 실근 β\displaystyle \beta의 값의 범위를 구하시오. (5점)(b) 곡선 y=x3−x−t\displaystyle y=x^3-x-t와 x\displaystyle x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S를 β\displaystyle \beta로 나타내고, S\displaystyle S의 최솟값을 구하시오. (17점)

해설강의 준비중

인하대 2021학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2021su/jayeon_1

+4점 · 미분을 통하여 y=x3−x\displaystyle y=x^3-x 또는 y=x3−x−t\displaystyle y=x^3-x-t의 도함수가 0인 점을 찾음

(1-1) x3−x−t=0\displaystyle x^3-x-t=0의 근을 함수 y=x3−x\displaystyle y=x^3-x와 y=t\displaystyle y=t의 그래프들의 교점으로 생각하자. 함수 y=x3−x\displaystyle y=x^3-x가 x=−1/3\displaystyle x=-1/\sqrt{3}에서 극댓값 2/33\displaystyle 2/\sqrt{3}^3과 x=1/3\displaystyle x=1/\sqrt{3}에서 극솟값 −2/33\displaystyle -2/\sqrt{3}^3을 갖는다.

+4점 · t\displaystyle t가 극값 사이에 존재해야 함을 인지함

따라서 −2/33<t<2/33\displaystyle -2/\sqrt{3}^3<t<2/\sqrt{3}^3일 때, 사잇값 정리에 의해서 α<−1/3<β<1/3<γ\displaystyle \alpha<-1/\sqrt{3}<\beta<1/\sqrt{3}<\gamma인 세 근을 갖는다.

+2점 · (1-1)에서 구한 두 극값을 갖는 점 사이의 범위를 인지함

(1-2)(a) (1-1)에서와 같이 구하고자 하는 방정식의 근을 y=x3−x\displaystyle y=x^3-x와 y=t\displaystyle y=t의 교점으로 생각하자. −2/33<t<2/33\displaystyle -2/\sqrt{3}^3<t<2/\sqrt{3}^3인 경우 문항 (1-1)에서와 같이 사잇값 정리에 의해서 극대점과 극소점 사이에서 두 번째 근을 갖는다. 따라서 −1/3<β<1/3\displaystyle -1/\sqrt{3}<\beta<1/\sqrt{3}.

+3점 · 서로 같은 두 실근을 인지함

그런데 t=2/33\displaystyle t=2/\sqrt{3^3}, t=−2/33\displaystyle t=-2/\sqrt{3^3}인 경우, 각각 x=−1/3\displaystyle x=-1/\sqrt{3}, x=1/3\displaystyle x=1/\sqrt{3}에서 중근을 가지므로 β\displaystyle \beta의 값은 −1/3≤β≤1/3\displaystyle -1/\sqrt{3}\le\beta\le1/\sqrt{3}을 만족한다. 나머지 t\displaystyle t값의 경우 1개의 실근과 2개의 허근을 갖는다.

+2점 · 근과 계수의 관계와 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma가 x3−x−t=0\displaystyle x^3-x-t=0의 근임을 인지하여 관계식을 구함

(1-2)(b) 제시문 (나)에서 주어진 근과 계수의 관계를 이용하면 다음을 얻을 수 있다. α+β+γ=0,  αβ+βγ+γα=−1,  αβγ=t,  α3−α=t,  β3−β=t,  γ3−γ=t\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=0,\;\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-1,\;\alpha\beta\gamma=t,\;\alpha^3-\alpha=t,\;\beta^3-\beta=t,\;\gamma^3-\gamma=t. 이용하여 다음 정적분을 β\displaystyle \beta에 관하여 풀면 다음과 같다.

+5점 · 적분을 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma의 식으로 올바르게 나타냄.
+5점 · 적분을 β\displaystyle \beta에 관한 식으로 나타냄

A=∫αγ∣x3−x−t∣dx=∫αβ(x3−x−t)dx−∫βγ(x3−x−t)dx=β4/2−α4/4−γ4/4−β2+α2/2+γ2/2−t(2β−α−γ)=β(β+t)/2−α(α+t)/4−γ(γ+t)/4−β2+α2/2+γ2/2−t(2β−α−γ)=α2/4+γ2/4−β2/2−(t−t/4)(2β−α−γ)=14(β2−2αγ)−β2/2−3t4(3β)=14(2−3β2−9tβ)=14(−9β4+6β2+2)=−94(β2−13)2+34\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_\alpha^\gamma|x^3-x-t|dx=\int_\alpha^\beta(x^3-x-t)dx-\int_\beta^\gamma(x^3-x-t)dx\\&=\beta^4/2-\alpha^4/4-\gamma^4/4-\beta^2+\alpha^2/2+\gamma^2/2-t(2\beta-\alpha-\gamma)\\&=\beta(\beta+t)/2-\alpha(\alpha+t)/4-\gamma(\gamma+t)/4-\beta^2+\alpha^2/2+\gamma^2/2-t(2\beta-\alpha-\gamma)\\&=\alpha^2/4+\gamma^2/4-\beta^2/2-(t-t/4)(2\beta-\alpha-\gamma)\\&=\frac14(\beta^2-2\alpha\gamma)-\beta^2/2-\frac{3t}4(3\beta)\\&=\frac14(2-3\beta^2-9t\beta)=\frac14(-9\beta^4+6\beta^2+2)=-\frac94\left(\beta^2-\frac13\right)^2+\frac34\end{aligned}

+5점 · 부등식 또는 이차함수의 최솟값을 이용하여 최솟값을 구함

문항 (1-2)(a)에서 −1/3≤β≤1/3\displaystyle -1/\sqrt{3}\le\beta\le1/\sqrt{3} 이므로 기본적인 부등식의 연산을 이용하면 0≤β2≤1/3\displaystyle 0\le\beta^2\le1/3 및 0≤(β2−1/3)2≤1/9\displaystyle 0\le(\beta^2-1/3)^2\le1/9가 되어 넓이의 최솟값은 β=0\displaystyle \beta=0일 때 1/2\displaystyle 1/2이다.

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