자연계열 (오후) 1번

(1-1) 점 $\displaystyle (1,7)$를 이차함수에 대입하여 얻은 방정식 $\displaystyle 7=(1-p)^2+p^2+2$의 해를 구하면 된다.

$\displaystyle p=2$ 또는 $\displaystyle p=-1$이 되어 $\displaystyle (-1,3),(2,6)$이 구하고자 하는 점이다.Correction. 이 소문항은 점의 좌표가 아니라 실수 $\displaystyle p$의 값을 묻는다. 답은 앞에서 구한 $\displaystyle p=-1,2$이며, 끝의 $\displaystyle (-1,3),(2,6)$은 각 포물선의 꼭짓점이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(1-2) 이차함수 $\displaystyle y=(x-p)^2+p^2+2$의 그래프가 점 $\displaystyle (a,b)$를 지나면 $\displaystyle b=(a-p)^2+p^2+2$을 만족하는 실수 $\displaystyle p$가 존재한다.

방정식을 $\displaystyle p$에 대해서 정리하면 $\displaystyle 2p^2-2ap+a^2-b+2=0$. 실근이 존재하기 위해서는 제시문에 의해 $\displaystyle D=a^2-2(a^2-b+2)\ge0$가 된다. 따라서 $\displaystyle b\ge(a^2+4)/2$.

(1-3) 구하고자 하는 최솟값은 점 $\displaystyle (a,b)$를 지나는 이차함수 $\displaystyle y=(x-p)^2+p^2+2$의 그래프가 존재하는 모든 점 $\displaystyle (a,b)$에 대해서 $\displaystyle (-12,-1)$로부터의 거리 $\displaystyle \sqrt{(a+12)^2+(b+1)^2}$ 중 최솟값을 구하면 된다. 이를 만족하는 $\displaystyle a,b$의 조건은 문제 (1-2)에서와 같이 $\displaystyle b\ge(a^2+4)/2$를 만족한다. 따라서 $\displaystyle b+1\ge(a^2+4)/2+1>0$ 이므로$\displaystyle \sqrt{(a+12)^2+(b+1)^2}\ge\sqrt{(a+12)^2+((a^2+4)/2+1)^2}$

가 성립하고 따라서 $\displaystyle \sqrt{(a+12)^2+((a^2+4)/2+1)^2}$의 최솟값을 구하면 된다. 함수 $\displaystyle f(a)=(a+12)^2+((a^2+4)/2+1)^2$의 도함수는 $\displaystyle f^\prime(a)=a^3+8a+24=(a^2-2a+12)(a+2)$이고

$\displaystyle a^2-2a+12=(a-1)^2+11>0$이므로 $\displaystyle a<-2$에서는 $\displaystyle f^\prime(a)<0$이고 $\displaystyle a>-2$에서는 $\displaystyle f^\prime(a)>0$이므로 $\displaystyle a=-2$에서 최솟값을 갖는다.

그러므로 구하고자 하는 거리는 $\displaystyle (10^2+25)^{1/2}=\sqrt{125}$가 된다.