의예과 2번

(3-1) 제시문 (가)에 의해 $\displaystyle \overline{OP_2}\le\overline{OP_1}+\overline{P_1P_2}=30$, $\displaystyle \overline{OP_2}\ge\overline{P_1P_2}-\overline{OP_1}=10$이고, 실제로 $\displaystyle 10\le\overline{OP_2}\le30$인 좌표평면의 점 $\displaystyle P_2$에 대하여 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle \overline{OP_1}=10$, $\displaystyle \overline{P_1P_2}=20$인 $\displaystyle P_1$이 존재한다. 따라서 주어진 집합은 $\displaystyle \{P\mid10\le\overline{OP}\le30\}$과 같고, 넓이는 $\displaystyle 800\pi$이다.

(3-2) 조건을 만족하는 점 $\displaystyle P_3$의 집합을 $\displaystyle T$라고 하자. 제시문 (가)에 의해$\displaystyle \overline{OP_3}\le\overline{OP_2}+\overline{P_2P_3}\le(\overline{OP_1}+\overline{P_1P_2})+\overline{P_2P_3}\le a_1+a_2+a_3$이다. $\displaystyle \overline{OP_3}$의 최댓값은 $\displaystyle O,P_1,P_2,P_3$가 직선위에 이 순서대로 놓여있을 때이고, 이때 $\displaystyle \overline{OP_3}=a_1+a_2+a_3=9$를 만족하므로 조건을 만족할 때 $\displaystyle a_1+a_2+a_3=9$이어야 한다.

(a) $\displaystyle P\in T$이고 $\displaystyle \overline{OA}=\overline{OP}$라고 가정하자. 그러면 점 $\displaystyle A$는 점 $\displaystyle P$를 원점을 중심으로 회전해서 얻어진다. 이때 $\displaystyle \overline{OP_1}=a_1$, $\displaystyle \overline{P_1P_2}=a_2$, $\displaystyle \overline{P_2P}=a_3$인 두 점 $\displaystyle P_1,P_2$가 존재하는데 같은 회전에 의해서 $\displaystyle P_1,P_2$가 옮겨진 점을 각각 $\displaystyle A_1,A_2$라고 하면, $\displaystyle \overline{OA_1}=a_1$, $\displaystyle \overline{A_1A_2}=a_2$, $\displaystyle \overline{A_2A}=a_3$이므로 $\displaystyle A\in T$이다.

(b) $\displaystyle P\in T$이고 $\displaystyle \overline{OP}<r<a_1+a_2+a_3$라고 가정하자. 정의에 의하여 $\displaystyle \overline{OP_1}=a_1$, $\displaystyle \overline{P_1P_2}=a_2$, $\displaystyle \overline{P_2P_3}=a_3$인 두 점 $\displaystyle P_1,P_2$가 존재하며, $\displaystyle \angle OP_1P_2=\alpha_1$, $\displaystyle \angle P_1P_2P_3=\alpha_2$라고 하자. $\displaystyle \alpha_1\le\theta\le\pi$인 임의의 실수 $\displaystyle \theta$에 대하여 $\displaystyle \overline{P_1P_2^\prime}=a_2$, $\displaystyle \overline{P_2^\prime P_3^\prime}=a_3$, $\displaystyle \angle OP_1P_2^\prime=\theta$, $\displaystyle \angle P_1P_2^\prime P_3^\prime=\alpha_2$인 점 $\displaystyle P_2^\prime,P_3^\prime$를 잡아서 $\displaystyle f(\theta)=\overline{OP_3^\prime}$라고 정의하자. 마찬가지로, $\displaystyle \alpha_2\le\theta\le\pi$인 임의의 실수 $\displaystyle \theta$에 대하여 $\displaystyle \overline{P_1P_2^\prime}=a_2$, $\displaystyle \overline{P_2^\prime P_3^\prime}=a_3$, $\displaystyle \angle OP_1P_2^\prime=\pi$, $\displaystyle \angle P_1P_2^\prime P_3^\prime=\theta$인 점 $\displaystyle P_2^\prime,P_3^\prime$를 잡아서 $\displaystyle g(\theta)=\overline{OP_3^\prime}$라고 정의하자. 그러면 $\displaystyle f(\alpha_1)=\overline{OP}$, $\displaystyle f(\pi)=g(\alpha_2)$, $\displaystyle g(\pi)=a_1+a_2+a_3$이고 $\displaystyle f(\theta)$와 $\displaystyle g(\theta)$는 연속함수이므로 사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle g(t)=r$인 $\displaystyle t$ ($\displaystyle \alpha_1<t\le\pi$ 또는 $\displaystyle g(t)=r$인 $\displaystyle t$ ($\displaystyle \alpha_2\le t<\pi$)가 존재한다. 따라서 $\displaystyle \overline{OP_3^\prime}=r$인 어떤 점 $\displaystyle P_3^\prime$이 집합 $\displaystyle T$의 원소이다.Correction. 사잇값 정리를 적용하는 첫 번째 경우의 $\displaystyle g(t)=r$는 $\displaystyle f(t)=r$의 오기이며, 그 뒤의 괄호도 닫히지 않았다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(a), (b)에 의하여 $\displaystyle T=\{P\mid\overline{OP}\le9\}$일 필요충분조건은 $\displaystyle a_1+a_2+a_3=9$이고 $\displaystyle O\in T$인 것이다. $\displaystyle O\in T$이려면 $\displaystyle \overline{OP_1}=a_1$, $\displaystyle \overline{P_1P_2}=a_2$, $\displaystyle \overline{OP_2}=a_3$인 두 점 $\displaystyle P_1,P_2$가 존재해야하며 이는 세 자연수 $\displaystyle a_1,a_2,a_3$ 중에 가장 큰 것 $\displaystyle a$가 다른 두 자연수의 합 $\displaystyle 9-a$보다 작거나 같을 때이다. 따라서 자연수 $\displaystyle a_1,a_2,a_3$가 조건을 만족하려면, $\displaystyle a_1+a_2+a_3=9$이고, $\displaystyle a_1,a_2,a_3\le4$이어야 한다.

순서쌍 $\displaystyle (a_1,a_2,a_3)$의 개수를 세기위해, $\displaystyle a_1,a_2,a_3$중 하나가 5 이상인 것을 빼주면$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{6}-3\times{}_{2}\mathrm{H}_{0}-3\times{}_{2}\mathrm{H}_{1}-3\times{}_{2}\mathrm{H}_{2}={}_{8}\mathrm{C}_{2}-3\times{}_{1}\mathrm{C}_{1}-3\times{}_{2}\mathrm{C}_{1}-3\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}=10$개다. (또는 중복조합을 쓰지 않고 순서쌍의 개수를 모두 세어도 된다.)

(3-3) 문제 (3-2)의 조건을 만족하는 세 자연수 $\displaystyle a_1,a_2,a_3$에 대하여, $\displaystyle T_\theta=\{P\mid\overline{OP}\le9\}$일 필요충분조건은 $\displaystyle O\in T_\theta$인 것이다. 따라서 $\displaystyle \overline{OP_1}=a_1$, $\displaystyle \overline{P_1P_2}=a_2$, $\displaystyle \overline{OP_2}=a_3$인 삼각형 $\displaystyle OP_1P_2$의 두 각 $\displaystyle \angle P_1$, $\displaystyle \angle P_2$중에 작은 값이 $\displaystyle \alpha$가 된다.

(a) $\displaystyle a_1=2$, $\displaystyle a_2=3$, $\displaystyle a_4=4$이므로 $\displaystyle \angle P_2<\angle P_1$이다. 따라서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \alpha=\angle P_2=\frac{3^2+4^2-2^2}{2\times3\times4}=\frac78$이다.Correction. $\displaystyle a_4=4$는 $\displaystyle a_3=4$의 오기이며, 각의 크기 $\displaystyle \alpha=\angle P_2$와 코사인값 $\displaystyle 7/8$을 같은 것으로 적었다. 코사인법칙이 주는 것은 $\displaystyle \cos\alpha=\cos\angle P_2=7/8$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(b) $\displaystyle \alpha$가 최대인 경우는 $\displaystyle a_1=4,a_2=1,a_3=4$인 경우이고 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{4^2+1^2-4^2}{2\times4\times1}=\frac18$이다.