자연계열 2번

(2-1) 주어진 등식을 미분하면 $\displaystyle 2x\int_0^x f(t)dt=\frac{d}{dx}(x\sin^2x)$이므로$\displaystyle x(F(x)-F(0))=\frac12\frac{d}{dx}(x\sin^2x)$를 얻는다.

부분적분법과 제시문 (다)를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int x\sin^2x\,dx&=x\left(\frac{x}2-\frac{\sin2x}4\right)-\int\left(\frac{x}2-\frac{\sin2x}4\right)dx\\&=\frac{x^2}4-\frac{x\sin2x}4-\frac{\cos2x}8+C\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi x^2(F(x)-F(0))dx&=\Biggl[\frac12x^2\sin^2x\Biggr]_0^\pi-\int_0^\pi\frac12x\sin^2x\,dx\\&=-\int_0^\pi\frac12x\sin^2x\,dx\\&=-\Biggl[\frac{x^2}8-\frac{x\sin2x}8-\frac{\cos2x}{16}\Biggr]_0^\pi=-\frac{\pi^2}8\end{aligned}$이다.

(2-2) $\displaystyle x\ne0$이면 $\displaystyle \int_0^x f(t)dt=\frac{\sin^2x}{2x}+\sin x\cos x$이므로$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x\cos x}{x}-\frac{\sin^2x}{2x^2}+\cos^2x-\sin^2x$이다.

$\displaystyle f$는 연속이므로 $\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0}\left[\frac{\sin x\cos x}{x}-\frac{\sin^2x}{2x^2}+\cos^2x-\sin^2x\right]=\frac32$이다.

(2-3) $\displaystyle h^\prime(x)=3x^2\int_0^x f(t)dt=\frac32x\frac{d}{dx}(x\sin^2x)=\frac32x\sin x(\sin x+2x\cos x)$이다.

$\displaystyle h^\prime(x)$는 $\displaystyle \sin x=0$이거나 $\displaystyle \tan x=-2x$일 때 $\displaystyle h^\prime(x)$의 부호가 바뀌고 극값을 갖는다. 곡선 $\displaystyle y=\tan x$와 직선 $\displaystyle y=-2x$을 그려보면 $\displaystyle 0<x<\pi$, $\displaystyle \pi<x<2\pi$, $\displaystyle 2\pi<x<3\pi$일 때 각각 1개씩, 모두 3개의 교점을 갖는다.그러므로 함수 $\displaystyle h(x)$의 증감표는 다음과 같다.

(2-1)과 같은 방법으로$\displaystyle \begin{aligned}h(n\pi)&=\int_0^{n\pi}\frac32x\frac{d}{dx}(x\sin^2x)dx=\Biggl[\frac32x^2\sin^2x\Biggr]_0^{n\pi}-\int_0^{n\pi}\frac32x\sin^2x\,dx\\&=-\int_0^{n\pi}\frac32x\sin^2x\,dx\\&=-\frac32\Biggl[\frac{x^2}4-\frac{x\sin2x}4-\frac{\cos2x}8\Biggr]_0^{n\pi}=-\frac{3n^2\pi^2}8\end{aligned}$이므로, $\displaystyle h(x)$는 구간 $\displaystyle [0,10]$에서 최솟값 $\displaystyle h(3\pi)=-\frac{27}8\pi^2$을 가진다.