의예과 3번

(3-1) (a) $\displaystyle i$와 $\displaystyle 2m-i$가 둘 다 $\displaystyle A$의 원소라면 $\displaystyle -2m\in A$라는 가정으로부터 $\displaystyle i+(2m-i)+(-2m)=0$이 되어 조건에 위배된다. 따라서 둘 다 $\displaystyle A$의 원소일 수는 없다.

(b) $\displaystyle i\in\{1,2,\cdots,m\}$에 대하여 $\displaystyle -i$와 $\displaystyle -2m+i$도 동시에 $\displaystyle A$에 속할 수 없으므로($\displaystyle \because 2m\in A$) 모두 $\displaystyle 2m$개의 각 쌍에서 숫자 하나씩은 $\displaystyle A$의 원소가 될 수 없다. 0도 빠지므로 $\displaystyle A$의 원소는 많아야 $\displaystyle (4m+1)-(2m+1)=2m$개다.

(3-2) 우선, $\displaystyle m=1$일 때는 $\displaystyle A$가 $\displaystyle \{-2,-1,1,2\}$ 중 3개의 원소를 포함한다면 주어진 조건을 만족하지 않으므로 $\displaystyle A$의 원소는 2개 이하여야 한다. 이제, 수학적 귀납법에 따라 $\displaystyle m=k$일 때 성립한다고 가정하고 $\displaystyle k+1$일 때 성립함을 보이자. $\displaystyle -2k-2,\;2k+2\in A$인 경우는 3-1 (b)에서 증명하였다. 이제 다음과 같은 3가지 경우를 따져 보자.

(i) $\displaystyle -2k-2\in A$, $\displaystyle 2k+2\notin A$인 경우.(i)-1: $\displaystyle 2k+1\notin A$이면, 집합 $\displaystyle A\cap\{-2k,-2k+1,\cdots,2k-1,2k\}$은 수학적 귀납법의 가정에 의해 $\displaystyle 2k$개 이하의 원소를 갖는다. 따라서 $\displaystyle A$는 더 가질 수 있는 원소가 $\displaystyle -2k-2,-2k-1$ 뿐이므로 $\displaystyle 2k+2$개 이하의 원소를 갖는다.(i)-2: $\displaystyle 2k+1\in A$이면, 앞의 (3-1)과 같은 논법에 의해◆ $\displaystyle i\in\{1,2,\cdots,k+1\}$에 대하여 $\displaystyle i,\;2(k+1)-i$ 중 하나는 $\displaystyle A$에 속하지 않으므로($\displaystyle \because -2k-2\in A$) $\displaystyle 2(k+1)$개의 양의 정수 중 $\displaystyle k+1$개가 빠지고 또한 $\displaystyle 2k+2\notin A$이므로 모두 $\displaystyle k+2$개가 빠진다. 따라서 양의 정수 중에서는 $\displaystyle k$개 이하가 $\displaystyle A$에 속한다.◆ $\displaystyle i\in\{1,2,\cdots,k\}$에 대하여 $\displaystyle -i,\;(-2k+1)+i$ 중 하나는 $\displaystyle A$에 속하지 않으므로($\displaystyle \because 2k+1\in A$), 음의 정수 중에서 $\displaystyle k$개가 빠지므로 음의 정수는 $\displaystyle k+2$개 이하가 $\displaystyle A$에 속한다.Correction. 음의 정수 쌍에서 $\displaystyle (-2k+1)+i$는 $\displaystyle (-2k-1)+i$의 오기이다. $\displaystyle 2k+1\in A$일 때 세 수의 합이 $\displaystyle 0$이 되는 것을 피하려면 합이 $\displaystyle -(2k+1)$인 두 수 $\displaystyle -i$와 $\displaystyle (-2k-1)+i$를 짝지어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle n(A)\le k+(k+2)=2(k+1)$이다.

(ii) $\displaystyle -2k-2\notin A$, $\displaystyle 2k+2\in A$인 경우는 (ii)과 대칭적인 이유로 성립한다.Correction. 대칭으로 비교할 대상은 (ii) 자체가 아니라 (i)이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(iii) $\displaystyle -2k-2\notin A$, $\displaystyle 2k+2\notin A$, 인 경우, 앞의 (i)-1과 동일한 수학적 귀납법에 의해 $\displaystyle n(A)\le2k+2$이다.

(3-3) 모든 홀수들의 집합은 $\displaystyle 2m$개의 원소로 이루어져 있고, 주어진 조건을 만족한다. 왜냐하면 세 홀수의 합이 0이 될 수는 없기 때문이다. 또 다른 예로는$\displaystyle A=\{-2m+1,2m+2,\cdots,-m+1\}\cup\{m-1,m,m+1,\cdots,2m-1\}$Correction. 두 번째 집합 예시의 $\displaystyle 2m+2$는 $\displaystyle -2m+2$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Comment. 두 번째 집합 예시의 부호를 고쳐 읽어도 일반적으로 원소 수와 세 원소의 합 조건을 만족하지 않는다. 예를 들어 $\displaystyle m=3$이면 $\displaystyle -4+2+2=0$이다. 앞의 홀수 집합 예시는 조건을 만족한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.가 있다.