자연계열 (오후) 3번

(3-1) 제시문 (가)의 미분과 적분과의 관계를 이용하면$\displaystyle g^\prime(x)=\frac{f(x)+xf^\prime(x)}2-f(x)=\frac{-f(x)+xf^\prime(x)}2$이다. 그러므로 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=\frac{xf^{\prime\prime}(x)}2$이다.

(3-2) $\displaystyle x>0$이면 $\displaystyle \frac1x\int_0^x f(t)dt\le\frac{f(x)}2$이므로$\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0+}\frac1x\int_0^x f(t)dt\le\lim_{x\to0+}\frac{f(x)}2=\frac{f(0)}2$이고 $\displaystyle f(0)\le0$이다.

$\displaystyle x<0$이면 $\displaystyle \frac1x\int_0^x f(t)dt\ge\frac{f(x)}2$이므로$\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0-}\frac1x\int_0^x f(t)dt\ge\lim_{x\to0-}\frac{f(x)}2=\frac{f(0)}2$이고 $\displaystyle f(0)\ge0$이다.따라서 $\displaystyle f(0)=0$이다.

(3-3) $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle q=0$이다. 그러므로$\displaystyle f^\prime(x)=(x^2+(p+2)x+p)e^x,\;f^{\prime\prime}(x)=(x^2+(p+4)x+2p+2)e^x$이다.만약 $\displaystyle f^{\prime\prime}(0)<0$이면 0을 포함하는 어떤 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이다.1), 2)의 결과에 의해 $\displaystyle g(0)=g^\prime(0)=0$이고 구간 $\displaystyle (0,b)$에서 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)<0$이므로 제시문 (나)를 적용하면 구간 $\displaystyle (0,b)$에서 $\displaystyle g(x)<0$이다. 따라서 주어진 조건에 모순이다.

만약 $\displaystyle f^{\prime\prime}(0)>0$이면 0을 포함하는 어떤 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$이다.1), 2)의 결과에 의해 $\displaystyle g(0)=g^\prime(0)=0$이고 구간 $\displaystyle (a,0)$에서 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)<0$이므로 제시문 (나)로부터 구간 $\displaystyle (a,0)$에서 $\displaystyle g(x)<0$이다. 따라서 주어진 조건에 모순이다.

따라서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=0$이고 $\displaystyle p=-1$이다.위에서 구한 $\displaystyle f(x)=(x^2-x)e^x$는 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=(x^2+3x)e^x$을 만족한다. 그러므로 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=\frac12(x^3+3x^2)e^x$이고 $\displaystyle g^\prime(x)=\frac12x^3e^x$이다. 따라서 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle g^\prime(x)>0$이고 $\displaystyle x<0$일 때 $\displaystyle g^\prime(x)<0$이므로 $\displaystyle g(x)\ge g(0)=0$이다.따라서 $\displaystyle f(x)$은 주어진 조건을 만족한다.