자연계열 (오후) 2번

+5점 · 직선 $\displaystyle y=x-t$가 곡선 $\displaystyle y=2\sin x$와 접하는 조건을 구하면

(2-1) $\displaystyle y=2\sin x$ 함수의 그래프의 개형으로부터 구하려는 $\displaystyle t$는 직선 $\displaystyle y=x-t$가 곡선 $\displaystyle y=2\sin x$와 $\displaystyle -\pi<x<0$에서 접할 때와 $\displaystyle 2\pi<x<3\pi$에서 접할 때의 사이에 있는 경우이다.

[참고1] 실제로 $\displaystyle \alpha=\frac56+\frac{\sqrt3}{2\pi}$, $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle 0\le t<2\pi$일 때, $\displaystyle \frac\pi2<g(t)<\frac53\pi$이고 $\displaystyle 2\sin(g(t))=g(t)-\alpha t$가 되도록 잡았을 때 $\displaystyle g(t)$가 주어진 구간에서 연속이라는 사실은 다음과 같이 엄밀하게 증명할 수 있다.$\displaystyle a$와 $\displaystyle t$를 $\displaystyle 0\le a,t<2\pi$인 임의의 두 실수 (단, $\displaystyle t\ne a$)라고 하면,$\displaystyle 2\sin g(t)=g(t)-\alpha t$, $\displaystyle 2\sin g(a)=g(a)-\alpha a$이므로$\displaystyle g(t)-g(a)-2(\sin g(t)-\sin g(a))=\alpha(t-a)$이고평균값 정리에 의해 $\displaystyle 2\sin g(t)-2\sin g(a)=2\cos x((g(t)-g(a))$인 $\displaystyle x$ ($\displaystyle x$는 $\displaystyle g(a),g(t)$사이의 실수)가 존재한다. $\displaystyle \cos x<\frac12$이므로, $\displaystyle g(t)=g(a)+\frac\alpha{1+2\cos x}(t-a)$ ($\displaystyle x$는 $\displaystyle g(a),g(t)$사이의 실수)이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{t\to a}g(t)=g(a)+\frac\alpha{1+2\cos a}\lim_{t\to a}(t-a)=g(a)$이다.Correction. 평균값 정리 식의 $\displaystyle 2\cos x((g(t)-g(a))$은 $\displaystyle 2\cos x(g(t)-g(a))$의 오기이다. 이어지는 식의 분모 $\displaystyle 1+2\cos x$는 $\displaystyle 1-2\cos x$의 오기이며, 마지막 극한식의 분모 $\displaystyle 1+2\cos a$는 $\displaystyle 1-2\cos(g(a))$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Caution. 증명할 결론을 이미 알려진 사실처럼 사용해서는 안 된다: 대학 예시답안의 [참고1]은 $\displaystyle g$의 연속성을 증명하는 부분이다. 아직 $\displaystyle g(t)\to g(a)$를 보이지 않았으므로, 평균값 정리의 중간점 $\displaystyle x$가 $\displaystyle g(a)$와 $\displaystyle g(t)$ 사이에 있다는 것만으로 $\displaystyle t\to a$일 때 $\displaystyle x\to g(a)$라고 결론낼 수는 없다. 이를 이용하여 다시 $\displaystyle g$의 연속성을 증명하면 증명할 결론을 앞서 사용하게 된다. $\displaystyle F(u)=u-2\sin u$를 구간 $\displaystyle (\frac\pi2,\frac{5\pi}3)$에 제한하면 연속인 증가함수이므로, $\displaystyle g(t)=F^{-1}(\alpha t)$로 나타내어 연속성을 보일 수 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[참고2] $\displaystyle \alpha>\frac56+\frac{\sqrt3}{2\pi}$이라면, $\displaystyle g((\frac{5\pi}3+\sqrt3)/\alpha)$은 두 곡선 $\displaystyle y=2\sin x$와 $\displaystyle y=x-(\frac{5\pi}3+\sqrt3)$의 교점의 $\displaystyle x$좌표이고, 각각 $\displaystyle 2\pi$보다 작거나 큰 두 개의 실수 값 중의 하나이다. (a)에서와 같은 방법으로 사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle g((\frac{5\pi}3+\sqrt3)/\alpha)<2\pi$인 경우 모순이므로 $\displaystyle g((\frac{5\pi}3+\sqrt3)/\alpha)>2\pi$이다. $\displaystyle g(t)$의 연속성에 의해$\displaystyle t_0<(\frac{5\pi}6+\sqrt3)/\alpha$이고, $\displaystyle t$가 구간 $\displaystyle [t_0,(\frac56+\frac{\sqrt3}{2\pi})/\alpha]$에 속할 때 $\displaystyle g(t)>2\pi$인 $\displaystyle t_0$값이 존재한다.Correction. 이 문단에서 기준이 되는 시각은 모두 $\displaystyle (5\pi/3+\sqrt3)/\alpha$이다. 원문의 $\displaystyle 5\pi/6$과 구간 끝점 $\displaystyle (5/6+\sqrt3/(2\pi))/\alpha$는 앞에서 사용한 시각과 다르다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그렇게 되면, 함수 $\displaystyle g(t)$ ($\displaystyle 0\le t<2\pi$)의 치역에서 제외되는 구간 $\displaystyle (x_0,x_1)$ ($\displaystyle \pi<x_0<x_1<2\pi$)이 존재하므로, 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle g(t)$의 연속성에 모순이다.