자연계열 (오후) 2번

(2-1) $\displaystyle y=2\sin x$ 함수의 그래프의 개형으로부터 구하려는 $\displaystyle t$는 직선 $\displaystyle y=x-t$가 곡선 $\displaystyle y=2\sin x$와 $\displaystyle -\pi<x<0$에서 접할 때와 $\displaystyle 2\pi<x<3\pi$에서 접할 때의 사이에 있는 경우이다.

함수 $\displaystyle y=2\sin x$의 도함수는 $\displaystyle y^\prime=2\cos x$이므로, 구하려는 접하는 점은 $\displaystyle \left(-\frac\pi3,-\sqrt3\right)$과 $\displaystyle \left(\frac{7\pi}3,\sqrt3\right)$이다. 따라서 구하려는 $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle \sqrt3-\frac\pi3<t<\frac{7\pi}3-\sqrt3$이다.

(2-2) (a) $\displaystyle 0\le t\le2\pi$일 때 $\displaystyle (g(t),2\sin g(t))$는 두 곡선 $\displaystyle y=2\sin x$와 $\displaystyle y=x-t$의 교점이다. $\displaystyle g(0)$의 값이 될 수 있는 것은 $\displaystyle 2\sin x=x$인 $\displaystyle x$의 값으로 각각 음수, 0, 양수인 세 개의 실수이다. 그런데, (2-1)의 결과에서 $\displaystyle \sqrt3-\frac\pi3<t<\frac{7\pi}3-\sqrt3$일 때, 그래프의 개형을 보면 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle \frac\pi2$보다 큰 양수 값을 가져야 한다.Comment. 함수의 정의역은 $\displaystyle [0,2\pi)$이므로 끝점 $\displaystyle t=2\pi$는 포함되지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.만일 $\displaystyle g(0)\le0$이었다면 사잇값 정리로부터 예를 들어 $\displaystyle g(t)=\frac\pi2$인 $\displaystyle t$의 값이 존재해야 하는데, $\displaystyle t>0$인 범위에서 직선 $\displaystyle y=x-t$와 곡선 $\displaystyle y=2\sin x$의 교점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle \frac\pi2$가 될 수는 없다. 따라서 $\displaystyle g(0)$은 양수 이어야한다.

이때 $\displaystyle 2\sin\left(\frac\pi2\right)=2>\frac\pi2$이고 $\displaystyle 2\sin(2)<2$이므로, $\displaystyle 1<\frac\pi2<g(0)<2$이고, 따라서 $\displaystyle k=1$이다.

(b) $\displaystyle (g(t),2\sin g(t))$는 두 곡선 $\displaystyle y=2\sin x$와 $\displaystyle y=x-\alpha t$의 교점이다.$\displaystyle 0\le t<2\pi$이면, $\displaystyle 0\le\alpha t<2\pi\alpha$이다.$\displaystyle 2\pi\alpha$가 직선 $\displaystyle y=x-2\pi\alpha$가 곡선 $\displaystyle y=2\sin(x)$에서 $\displaystyle x=\frac{5\pi}3$에서 접하게 하는 $\displaystyle 2\pi\alpha$의 값인 $\displaystyle \frac{5\pi}3+\sqrt3$보다 작거나 같으면, 즉 $\displaystyle \alpha\le\frac56+\frac{\sqrt3}{2\pi}$이면 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle \frac\pi2<g(t)<\frac53\pi$ 범위에서 연속함수로 정의할 수 있다. 이는 그래프의 개형으로부터 직관적으로 설명된다.$\displaystyle \alpha>\frac56+\frac{\sqrt3}{2\pi}$이라면, 그래프의 개형과 사잇값 정리로부터 $\displaystyle \alpha t<\frac{7\pi}3-\sqrt3$인 경우 $\displaystyle g(t)<2\pi$이고 $\displaystyle \alpha t>\frac{5\pi}3+\sqrt3$인 경우 $\displaystyle g(t)>2\pi$이어야 하는데, $\displaystyle g(t)$가 $\displaystyle y=2\sin x$와 $\displaystyle y=x-\alpha t$의 교점의 $\displaystyle x$좌표가 되도록 연속적으로 만들 방법이 없다. 그러므로 조건을 만족하는 $\displaystyle \alpha$의 최댓값은 $\displaystyle \frac56+\frac{\sqrt3}{2\pi}$이다.