자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle S$에 $\displaystyle n>m\ge30$인 원소가 있다고 가정하자. 그러면 $\displaystyle \frac{1}{m}\le\frac{1}{30}$이므로$\displaystyle \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\le\frac{1}{30}-\frac{1}{n}<\frac{1}{30}$이고 모순이다. 따라서 $\displaystyle 2$개 이상 있을 수는 없다. $\displaystyle S=\{1,30\}$은 문제의 조건을 만족하므로 집합 $\displaystyle S$에는 $\displaystyle 30$보다 큰 원소가 최대 $\displaystyle 1$개까지 있을 수 있다.Correction. (1-1)의 마지막 문장에서 ‘30보다 큰 원소’는 ‘30 이상인 원소’로 써야 한다. 문제에서 묻는 범위와 예로 든 $\displaystyle S=\{1,30\}$에 맞추면 등호를 포함해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(1-2) $\displaystyle 2\le i\le6$에 대하여, $\displaystyle \frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}=\frac{1}{i(i-1)}\ge\frac{1}{30}$이므로 $\displaystyle 6$까지 가능하다. 따라서, $\displaystyle k=6$이다.

(1-3) $\displaystyle a_i=i,1\le i\le6$이라 하자.$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\ge\frac{1}{30}\ \Leftrightarrow\ y\ge\frac{30x}{30-x}$이므로 $\displaystyle a_7$을

$\displaystyle a_7\ge\frac{30a_6}{30-a_6}$을 만족하는 가장 작은 자연수로 잡는다.$\displaystyle a_7\ge\frac{30\cdot6}{30-6}=\frac{180}{24}>7$이므로 $\displaystyle a_7=8$. 마찬가지로,$\displaystyle a_8\ge\frac{30\cdot8}{30-8}=\frac{240}{22}>10$이므로 $\displaystyle a_8=11$이와 같이 하여 $\displaystyle a_9=18,a_{10}=45$라 하면 $\displaystyle S=\{a_1,a_2,\cdots,a_{10}\}$는 주어진 조건을 만족한다.

(1-1)에 의해 $\displaystyle 30$ 이상의 수는 한 개뿐이어야 하므로 $\displaystyle S$의 원소의 개수의 최댓값은 $\displaystyle 10$개이다.이렇게 구한 $\displaystyle a_1<a_2<\cdots<a_{10}$이 최대 개수인 이유는 다음과 같다. 만일 또 다른 $\displaystyle b_1<b_2<\cdots<b_m\ (m\ge11)$이 주어진 조건을 만족한다면, $\displaystyle a_1<a_2<\cdots<a_{10}$은 조건 $\displaystyle a_i\ge\frac{30a_{i-1}}{30-a_{i-1}}$을 만족하는 가장 작은 자연수들을 차례로 고른 것이기 때문에 모든 $\displaystyle 1\le i\le10$에 대하여 $\displaystyle a_i\le b_i$이다. 그러므로 $\displaystyle b_{10}\ge a_{10}>30$이 되는데 이는 (1-1)에 모순이 된다.