자연계열 (오후) 3번

(3-1) $\displaystyle \frac{\ln b}{\ln a}=\frac{b}{a}=t$이므로 $\displaystyle b=a^t=ta$이다.

따라서 $\displaystyle a=t^{\frac{1}{t-1}}$, $\displaystyle b=t^{\frac{t}{t-1}}$이고 $\displaystyle f(t)=t^{\frac{1}{t-1}}$, $\displaystyle g(t)=t^{\frac{t}{t-1}}$이다.

(3-2) $\displaystyle h(t)=\frac{t\ln t}{t-1}e^{\frac{\ln t}{t-1}}$이므로 제시문 (나)의 미분법을 이용하면$\displaystyle h^{\prime}(t)=\frac{(\ln t+1)(t-1)-t\ln t}{(t-1)^2}e^{\frac{\ln t}{t-1}}+\frac{t\ln t}{t-1}e^{\frac{\ln t}{t-1}}\times\frac{1-\frac{1}{t}-\ln t}{(t-1)^2}=\frac{(t-1)^2-t(\ln t)^2}{(t-1)^3}e^{\frac{\ln t}{t-1}}$이다.

$\displaystyle k(t)=\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}-\ln t$로 두면, $\displaystyle t>1$일 때 $\displaystyle k^{\prime}(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}+\frac{1}{2t\sqrt{t}}-\frac{1}{t}=\frac{1}{2t\sqrt{t}}(\sqrt{t}-1)^2>0$이고 $\displaystyle k(1)=0$이므로 $\displaystyle k(t)>0$이다. 그러므로 $\displaystyle h^{\prime}(t)>0$이고 $\displaystyle h(t)$는 $\displaystyle t>1$일 때 증가한다.

또한 $\displaystyle \lim_{t\to1}h(t)=e$이고 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}h(t)=\infty$이므로 $\displaystyle h$의 치역은 $\displaystyle (e,\infty)$이다.

(3-3) (3-2)의 결과에 의해 $\displaystyle b^a=g(t)^{f(t)}=e^{h(t)}$의 범위는 $\displaystyle (e^e,\infty)$이다.

제시문 (가), (다)에 의하면$\displaystyle \ln e^e=e=2.718\cdots,\quad\ln15=2.708\cdots,\quad\ln16=2.772\cdots$이므로 $\displaystyle 15<e^e<16$이다.

따라서 $\displaystyle a^b$가 될 수 있는 최소의 자연수는 $\displaystyle 16$이다.