자연계열 (오후) 1번

(1-1) 제시문 (가)를 이용하면 $\displaystyle S(t)+\int_0^t f(x)dx$가 원점과 $\displaystyle (t,f(t))$를 대각선의 양 끝점으로 하는 직사각형의 넓이이므로 $\displaystyle S(t)+\int_0^t f(x)dx=tf(t)$가 됨을 알 수 있다.

$\displaystyle f(x)=x^3+x+1$을 대입하면 $\displaystyle S(t)=\frac{3}{4}t^4+\frac{1}{2}t^2$을 얻을 수 있다.

따라서 구하고자 하는 극한값은 $\displaystyle \frac{3}{4}$이 된다.

(1-2) (1-1)에서 얻은 $\displaystyle S(x)$를 이용하면 $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{S(x)}{xf(x)}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{(3/4)x^4+(1/2)x^2}{x^4+x^2+x}\right)=\frac{2x^3+9x^2+2}{4(x^3+x+1)^2}>0$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle \frac{S(x)}{xf(x)}$는 증가한다.

또한 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{S(x)}{xf(x)}=0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{S(x)}{xf(x)}=\frac{3}{4}$이므로 $\displaystyle 0<\frac{S(x)}{xf(x)}<\frac{3}{4}$이다.

(1-3) $\displaystyle A(x)=\frac{S(x)}{xf(x)}$라 하고 $\displaystyle B(x)=\frac{\int_0^x f(t)dt}{xf(x)}$라 하자. 그러면 (1-1)과 같이 제시문 (가)를 이용하면 $\displaystyle A(x)+B(x)=1$임을 알 수 있다. 또한 (1-2)에서 $\displaystyle 0<A(x)<\frac{3}{4}$이다.

제시문 (나)를 이용하면 $\displaystyle h(x)=A(x)B(x)\le\left(\frac{A(x)+B(x)}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$이 성립하고

등호는 $\displaystyle A(x)=\frac{1}{2}$일 때 성립한다.

$\displaystyle A(x)=\frac{1}{2}$을 풀면 $\displaystyle x^4-2x=0$이므로 $\displaystyle x>0$을 만족하는 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle \sqrt[3]{2}$가 된다. 따라서 $\displaystyle a=\sqrt[3]{2}$이고 $\displaystyle h(a)=\frac{1}{4}$이다.