자연계열 (오후) 2번

(2-1) 문제의 조건으로부터 원 위의 점 중 $\displaystyle P$와의 거리가 $\displaystyle 1$인 점이 원 위에 단 한 개 존재해야 하므로 원의 지름이 $\displaystyle 1$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle r=\frac{1}{2}$이다.

(2-2) $\displaystyle X_n$이 구해지면 $\displaystyle X_{n+1}$의 점들은 $\displaystyle X_n$의 점들로부터 거리가 $\displaystyle 1$인 $\displaystyle X$위의 점들이다. 따라서 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots$을 다음과 같이 차례대로 구할 수 있고,

$\displaystyle n=6$이다.

(a) 문제의 조건에 의하여 $\displaystyle Y$의 원소는 기껏해야 $\displaystyle 6$개이다. $\displaystyle r>\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle Y$는 원소의 개수가 적어도 $\displaystyle 3$개이다.

$\displaystyle n(Y)=3$인 경우 세 점들 사이의 거리는 $\displaystyle 1$이어야 하므로 원 $\displaystyle X$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정삼각형에 외접하고 $\displaystyle r=\frac{1}{2\sin\frac{2\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$이다.$\displaystyle n(Y)=4$이면 원 $\displaystyle X$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정사각형의 외접하고 $\displaystyle r=\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.$\displaystyle n(Y)=5$이면 어떤 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle X_n=X_{n+2}=\cdots=2$이고 $\displaystyle X_{n+1}=X_{n+3}=\cdots=3$이어야 하는데 이런 경우는 $\displaystyle X$가 원일 때는 불가능하다.Caution. 집합 자체와 그 집합의 원소의 개수를 구분하여 써야 한다: 이 문제에서 $\displaystyle X_n$은 주어진 조건에 따라 도달할 수 있는 점 $\displaystyle Q$의 집합이다. $\displaystyle n(Y)=5$인 경우를 검토하는 문단의 $\displaystyle X_n=X_{n+2}=\cdots=2$와 $\displaystyle X_{n+1}=X_{n+3}=\cdots=3$은 각각 $\displaystyle n(X_n)=n(X_{n+2})=\cdots=2$, $\displaystyle n(X_{n+1})=n(X_{n+3})=\cdots=3$으로 써야 한다. 집합 자체를 원소의 개수인 $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$과 같다고 쓴 표기는 잘못이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.마지막으로 $\displaystyle n(Y)=6$이라고 하자. 어떤 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle X_n=X_{n+2}=\cdots=2$이고 $\displaystyle X_{n+1}=X_{n+3}=\cdots=4$인 경우는 불가능하므로, 어떤 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle X_n=X_{n+1}=X_{n+2}=\cdots=3$이다. 이 경우 원 $\displaystyle X$가 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정육각형에 외접하므로 $\displaystyle r=1$이다.Caution. 집합 자체와 그 집합의 원소의 개수를 구분하여 써야 한다: $\displaystyle n(Y)=6$인 경우를 검토하는 문단에서도 $\displaystyle X_n$은 점들의 집합이다. 처음 두 식은 각각 $\displaystyle n(X_n)=n(X_{n+2})=\cdots=2$, $\displaystyle n(X_{n+1})=n(X_{n+3})=\cdots=4$로 써야 한다. 이어지는 $\displaystyle X_n=X_{n+1}=X_{n+2}=\cdots=3$도 $\displaystyle n(X_n)=n(X_{n+1})=n(X_{n+2})=\cdots=3$으로 써야 한다. 집합 자체를 원소의 개수와 같다고 쓴 표기는 잘못이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(b) 문제의 조건에서 $\displaystyle n(Y)\le5$이어야 한다.

(a)에 의하여 $\displaystyle n(Y)=3$이면 $\displaystyle r^2=\frac{1}{3}$, $\displaystyle n(Y)=4$이면 $\displaystyle r^2=\frac{1}{2}$이다.마지막으로 $\displaystyle n(Y)=5$이라고 하자. 원래의 $\displaystyle P$ 대신에 $\displaystyle Y$의 $\displaystyle P$가 아닌 네 점 중 하나를 $\displaystyle P$로 대체해도 집합 $\displaystyle Y$는 변하지 않으므로, $\displaystyle Y$의 임의의 이웃하는 두 점 사이의 거리는 모두 같다. 따라서 $\displaystyle Y$는 정오각형의 꼭짓점의 집합이고, 원 $\displaystyle X$는 이 정오각형의 외접원이다. 이때 정오각형의 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$이거나 대각선의 길이가 $\displaystyle 1$이어야 하는데, 제시문을 이용하면 각각의 경우$\displaystyle r^2=\left(\frac{1}{2\sin(\pi/5)}\right)^2=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$ 또는 $\displaystyle r^2=\left(\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)\left(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\right)^2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$이다.