자연계열 (오후) 2번

(2-1) 문제의 조건으로부터 원 위의 점 중 $\displaystyle P$와의 거리가 $\displaystyle 1$인 점이 원 위에 단 한 개 존재해야 하므로 원의 지름이 $\displaystyle 1$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle r=\frac{1}{2}$이다.

(2-2) $\displaystyle X_n$이 구해지면 $\displaystyle X_{n+1}$의 점들은 $\displaystyle X_n$의 점들로부터 거리가 $\displaystyle 1$인 $\displaystyle X$위의 점들이다. 따라서 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots$을 다음과 같이 차례대로 구할 수 있고, $\displaystyle n=6$이다.

(a) 문제의 조건에 의하여 $\displaystyle Y$의 원소는 기껏해야 $\displaystyle 6$개이다. $\displaystyle r>\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle Y$는 원소의 개수가 적어도 $\displaystyle 3$개이다.$\displaystyle n(Y)=3$인 경우 세 점들 사이의 거리는 $\displaystyle 1$이어야 하므로 원 $\displaystyle X$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정삼각형에 외접하고 $\displaystyle r=\frac{1}{2\sin\frac{2\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$이다.$\displaystyle n(Y)=4$이면 원 $\displaystyle X$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정사각형의 외접하고 $\displaystyle r=\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.$\displaystyle n(Y)=5$이면 어떤 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle X_n=X_{n+2}=\cdots=2$이고 $\displaystyle X_{n+1}=X_{n+3}=\cdots=3$이어야 하는데 이런 경우는 $\displaystyle X$가 원일 때는 불가능하다.Correction. $\displaystyle X_n=2$, $\displaystyle X_n=3$ 등은 집합 자체가 아니라 원소의 개수를 뜻하므로 $\displaystyle n(X_n)=2$, $\displaystyle n(X_n)=3$으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.마지막으로 $\displaystyle n(Y)=6$이라고 하자. 어떤 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle X_n=X_{n+2}=\cdots=2$이고 $\displaystyle X_{n+1}=X_{n+3}=\cdots=4$인 경우는 불가능하므로, 어떤 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle X_n=X_{n+1}=X_{n+2}=\cdots=3$이다. 이 경우 원 $\displaystyle X$가 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정육각형에 외접하므로 $\displaystyle r=1$이다.Correction. $\displaystyle X_n=2$, $\displaystyle X_n=3$ 등은 집합 자체가 아니라 원소의 개수를 뜻하므로 $\displaystyle n(X_n)=2$, $\displaystyle n(X_n)=3$으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(b) 문제의 조건에서 $\displaystyle n(Y)\le5$이어야 한다. (a)에 의하여 $\displaystyle n(Y)=3$이면 $\displaystyle r^2=\frac{1}{3}$, $\displaystyle n(Y)=4$이면 $\displaystyle r^2=\frac{1}{2}$이다.마지막으로 $\displaystyle n(Y)=5$이라고 하자. 원래의 $\displaystyle P$ 대신에 $\displaystyle Y$의 $\displaystyle P$가 아닌 네 점 중 하나를 $\displaystyle P$로 대체해도 집합 $\displaystyle Y$는 변하지 않으므로, $\displaystyle Y$의 임의의 이웃하는 두 점 사이의 거리는 모두 같다. 따라서 $\displaystyle Y$는 정오각형의 꼭짓점의 집합이고, 원 $\displaystyle X$는 이 정오각형의 외접원이다. 이때 정오각형의 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$이거나 대각선의 길이가 $\displaystyle 1$이어야 하는데, 제시문을 이용하면 각각의 경우$\displaystyle r^2=\left(\frac{1}{2\sin(\pi/5)}\right)^2=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$ 또는 $\displaystyle r^2=\left(\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)\left(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\right)^2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$이다.