자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle n\pi\le x\le(n+1)\pi$일 때, $\displaystyle \frac{1}{(n+1)\pi}\le\frac{1}{x}\le\frac{1}{n\pi}$이고 $\displaystyle \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin x|dx=2$이므로 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle \frac{2}{(n+1)\pi}\le a_n\le\frac{2}{n\pi}$이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{2n}{(n+1)\pi}\le na_n\le\frac{2}{\pi}$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{(n+1)\pi}=\frac{2}{\pi}$이므로 제시문 (가)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}na_n=\frac{2}{\pi}$이다.

(2-2) 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle 2k\pi\le x\le\left(2k+\frac{1}{2}\right)\pi$일 때 $\displaystyle \frac{1}{\left(2k\pi+\frac{1}{2}\right)^2\pi^2}\le\frac{1}{x^2}\le\frac{1}{4k^2\pi^2}$이고 $\displaystyle \int_{2k\pi}^{(2k+1/2)\pi}\cos x\,dx=1$이므로 제시문 (나)에 의해서Correction. 분모의 $\displaystyle (2k\pi+\frac12)^2\pi^2$는 $\displaystyle (2k+\frac12)^2\pi^2$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac{1}{\left(2k+\frac{1}{2}\right)^2\pi^2}\le\int_{2k\pi}^{(2k+1/2)\pi}\frac{\cos x}{x^2}dx\le\frac{1}{4k^2\pi^2}\qquad\text{(A)}$이다. 마찬가지로 $\displaystyle \left(2k+\frac{1}{2}\right)\pi\le x\le(2k+1)\pi$일 때 $\displaystyle \frac{1}{(2k+1)^2\pi^2}\le\frac{1}{x^2}\le\frac{1}{\left(2k\pi+\frac{1}{2}\right)^2\pi^2}$이고 $\displaystyle \int_{(2k+1/2)\pi}^{(2k+1)\pi}\cos x\,dx=-1$이므로 제시문 (나)에 의해서Correction. 분모의 $\displaystyle (2k\pi+\frac12)^2\pi^2$는 $\displaystyle (2k+\frac12)^2\pi^2$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle -\frac{1}{\left(2k+\frac{1}{2}\right)^2\pi^2}\le\int_{(2k+1/2)\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{\cos x}{x^2}dx\le-\frac{1}{(2k+1)^2\pi^2}\qquad\text{(B)}$이다. $\displaystyle \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{\cos x}{x^2}dx=\int_{2k\pi}^{(2k+1/2)\pi}\frac{\cos x}{x^2}dx+\int_{(2k+1/2)\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{\cos x}{x^2}dx$이므로 (A), (B)에 의하여$\displaystyle 0<b_{2k}<\frac{1}{(2k)^2\pi^2}-\frac{1}{(2k+1)^2\pi^2}$이다. 마찬가지로 $\displaystyle \frac{1}{(2k+2)^2\pi^2}-\frac{1}{(2k+1)^2\pi^2}<b_{2k+1}<0$이므로$\displaystyle 0<|b_n|<\frac{1}{n^2\pi^2}-\frac{1}{(n+1)^2\pi^2}$이다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2\left(\frac{1}{n^2\pi^2}-\frac{1}{(n+1)^2\pi^2}\right)=0$이므로 제시문 (가)에 의해서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2b_n=0$이다.

(2-3) $\displaystyle \begin{aligned}a_n&=(-1)^n\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}{x}dx\\&=(-1)^n\left\{\Biggl[-\frac{\cos x}{x}\Biggr]_{n\pi}^{(n+1)\pi}-\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\cos x}{x^2}dx\right\}\\&=(-1)^n\left\{\frac{(-1)^n}{(n+1)\pi}+\frac{(-1)^n}{n\pi}-b_n\right\}\\&=\frac{1}{(n+1)\pi}+\frac{1}{n\pi}+(-1)^{n+1}b_n\end{aligned}$이므로 (2-2)의 결과에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{n(n+1)a_n-\frac{2n+1}{\pi}\right\}=0$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{\pi}$이다.