자연계열 3번

(3-1) $\displaystyle x^3-6x^2+9x+1=(x-2)^3-3(x-2)+3$이므로 제시문 (가)에 의하여$\displaystyle y=x^3-6x^2+9x+1$의 그래프는 $\displaystyle y=x^3-3x$의 그래프를 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle 2$만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle 3$만큼 평행이동한 것이다. 따라서 $\displaystyle a=3$이다.

(3-2) $\displaystyle f(x)=x^3-mx+n$라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-m$이다. 따라서 $\displaystyle y=f(x)$의 기울기가 $\displaystyle -1$인 접선의 접점의 $\displaystyle x$좌표는, $\displaystyle \alpha=\sqrt{\frac{m-1}{3}}$라고 하면, $\displaystyle \pm\alpha$이다. 삼차함수의 그래프의 개형으로부터 접선 $\displaystyle y=-x$의 접점의 $\displaystyle x$좌표가 접선 $\displaystyle y=-x+4$의 $\displaystyle x$좌표보다 크므로, 두 접선의 접점의 좌표는 각각 $\displaystyle (\alpha,-\alpha)$, $\displaystyle (-\alpha,\alpha+4)$이다.따라서 $\displaystyle f(\alpha)=\alpha^3-(3\alpha^2+1)\alpha+n=-\alpha$, $\displaystyle f(-\alpha)=-\alpha^3+(3\alpha^2+1)\alpha+n=\alpha+4$이고 두 식으로부터 $\displaystyle n=2,\alpha=1$을 얻는다. 이때 $\displaystyle m=3\alpha^2+1=4$이다.

(a) (3-2)로부터 $\displaystyle l_1,l_2$를 접선으로 갖는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수의 그래프는 곡선 $\displaystyle y=x^3-4x$을 적당히 평행이동한 것이다. $\displaystyle (2,2,2,2)\in S$이려면 이 삼차함수의 그래프를 $\displaystyle y=-x$방향으로 적당히 평행이동하였을 때 두 직선 $\displaystyle l_3,l_4$가 접선이어야 한다.$\displaystyle y=x^3-4x$이면 $\displaystyle y^{\prime}=3x^2-4$이므로 곡선 $\displaystyle y=x^3-4x$의 기울기가 $\displaystyle 2$인 접선의 접점의 $\displaystyle x$좌표는 방정식 $\displaystyle 3x^2-4=2$의 두 근 $\displaystyle \pm\sqrt{2}$이다. 따라서 $\displaystyle y=x^3-4x$의 기울기가 $\displaystyle 2$인 두 접선의 방정식은 각각 $\displaystyle y=2(x-\sqrt{2})-2\sqrt{2}=2x-4\sqrt{2}$과 $\displaystyle y=2x+4\sqrt{2}$이다. 이 두 접선의 $\displaystyle y$절편의 차이는 $\displaystyle 8\sqrt{2}$이다. 삼차함수 $\displaystyle y=x^3-4x$을 적당히 평행이동해서 이 두 접선이 각각 $\displaystyle l_3,l_4$가 되어도 $\displaystyle y$절편의 차이는 변하지 않으므로 $\displaystyle k=8\sqrt{2}$이어야 한다.

(b) $\displaystyle f(x)=x^3-ax\ (a>4)$라고 하면, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 기울기가 $\displaystyle -1$인 두 접선의 $\displaystyle y$절편의 차이는 (3-2)의 계산과정으로부터 $\displaystyle (-\alpha+f(-\alpha))-(\alpha+f(\alpha))=-2(\alpha+\alpha^3-(3\alpha^2+1)\alpha)=4\alpha^3$ (단, $\displaystyle \alpha=\sqrt{\frac{a-1}{3}}$)이므로 $\displaystyle 4$보다 크고, 마찬가지로 기울기가 $\displaystyle 2$인 두 접선의 $\displaystyle y$절편의 차이는 $\displaystyle 8\sqrt{2}$보다 크다. 따라서 두 순서쌍 $\displaystyle (a_1,a_2)$와 $\displaystyle (a_3,a_4)$가 모두 $\displaystyle \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}$에 속하면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$를 적당히 평행이동해서 얻어지는 곡선과 직선 $\displaystyle l_i\ (i=1,2,3,4)$의 교점의 개수가 $\displaystyle a_i$이다. 따라서 이 경우 $\displaystyle (a_1,a_2,a_3,a_4)\in S$이다.

따라서 $\displaystyle S$의 원소의 개수는 $\displaystyle 8^2+6\times2-1=75$이다.