수리논술, 이게 다다.

의예과 3번

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인하대 2022학년도 수시 의예과 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2022su/uiye_3

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[문제 3] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 어떤 명제가 참임을 증명할 때, 주어진 명제의 결론을 부정하여 가정 또는 이미 알려진 수학적 사실 등에 모순됨을 보여 원래의 명제가 참임을 증명하는 방법을 귀류법이라고 한다.

(나) x+y≠z+w\displaystyle x+y\neq z+w이면 실수 a,b (a≠0)\displaystyle a,b\ (a\neq0)에 대하여(ax+b)+(ay+b)≠(az+b)+(aw+b)\displaystyle (ax+b)+(ay+b)\neq(az+b)+(aw+b)이다.

(※) 자연수의 집합 S\displaystyle S가 다음 조건을 만족할 때, S\displaystyle S를 흩어진 집합이라 하자.

서로 다른 네 자연수 x,y,z,w\displaystyle x,y,z,w에 대하여 x+y=z+w\displaystyle x+y=z+w이면 집합 {x,y,z,w}\displaystyle \{x,y,z,w\}는 S\displaystyle S에 포함되지 않는다.

예를 들어, {1}\displaystyle \{1\}, {1,2}\displaystyle \{1,2\}, {4,5,7,9}\displaystyle \{4,5,7,9\}는 흩어진 집합이다. n\displaystyle n이 자연수일 때, 집합 {1,2,⋯ ,n}\displaystyle \{1,2,\cdots,n\}에 포함된 흩어진 집합 S\displaystyle S에 대하여 n(S)\displaystyle n(S)의 최댓값을 an\displaystyle a_n이라 하자. 예를 들어, a5=4\displaystyle a_5=4이다.

(3-1) ak=4\displaystyle a_k=4인 자연수 k\displaystyle k를 모두 구하시오. (5점)

(3-2) ak−1<ak\displaystyle a_{k-1}<a_k인 어떤 자연수 k (k≥2)\displaystyle k\ (k\ge2)에 대하여, 집합 S\displaystyle S는 n(S)=ak\displaystyle n(S)=a_k이고 S⊂{1,2,⋯ ,k}\displaystyle S\subset\{1,2,\cdots,k\}인 흩어진 집합이다. S\displaystyle S의 원소 중 가장 큰 것을 M\displaystyle M, 가장 작은 것을 m\displaystyle m이라 할 때, M−m\displaystyle M-m으로 가능한 값을 구하시오. (7점)

(3-3) 수열 {pn}\displaystyle \{p_n\}을 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.p1=1, p2=2, pn+2=pn+1+pn (n=1,2,3,⋯ )\displaystyle p_1=1,\ p_2=2,\ p_{n+2}=p_{n+1}+p_n\ (n=1,2,3,\cdots)(a) 자연수 k\displaystyle k에 대하여 {p1,p2,⋯ ,pk}\displaystyle \{p_1,p_2,\cdots,p_k\}는 흩어진 집합임을 증명하시오. (10점)(b) 자연수 k (k≥3)\displaystyle k\ (k\ge3)에 대하여, 다음 두 조건을 만족하는 흩어진 집합 S\displaystyle S를 하나 찾으시오. (8점)

(i) n(S)=k\displaystyle n(S)=k(ii) S⊂{i∣i=1\displaystyle S\subset\{i\mid i=1 또는 pk−2<i≤pk\displaystyle p_{k-2}<i\le p_k인 자연수}\displaystyle \}

해설강의 준비중

인하대 2022학년도 수시 의예과 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2022su/uiye_3

+3점 · a7=4\displaystyle a_7=4를 구하면
+1점 · a8=5\displaystyle a_8=5를 구하면
+1점 · a4=3\displaystyle a_4=3을 보이고 답을 모두 구하면

(3-1) {1,2,3}\displaystyle \{1,2,3\}은 흩어진 집합이고 {1,2,3,4}\displaystyle \{1,2,3,4\}는 1+4=2+3\displaystyle 1+4=2+3이므로 흩어진 집합이 아니다. 그리고 {1,2,3,5}\displaystyle \{1,2,3,5\}는 흩어진 집합이므로 a4=3,a5=4\displaystyle a_4=3,a_5=4이다. {1,2,3,5,8}\displaystyle \{1,2,3,5,8\}은 흩어진 집합이므로 a8≥5\displaystyle a_8\ge5이다.a7=4\displaystyle a_7=4임을 보이자. n(S)=5\displaystyle n(S)=5인 흩어진 집합 S⊂{1,2,⋯ ,7}\displaystyle S\subset\{1,2,\cdots,7\}이 존재한다고 가정하자.S\displaystyle S의 가장 큰 원소를 M\displaystyle M, 가장 작은 원소를 m\displaystyle m이라 하면 k≤M−m2\displaystyle k\le\frac{M-m}{2}인 자연수 k\displaystyle k에 대하여 두 자연수 m+k,M−k\displaystyle m+k,M-k 중 최대 하나만 S\displaystyle S에 속할 수 있다. 따라서 S\displaystyle S의 원소의 개수는 2+M−m2\displaystyle 2+\frac{M-m}{2} 이하인데 n(S)=5\displaystyle n(S)=5이므로 m=1,M=7\displaystyle m=1,M=7이다. 2\displaystyle 2와 6\displaystyle 6 중 하나만 S\displaystyle S에 속하고 3\displaystyle 3과 5\displaystyle 5 중 하나만 S\displaystyle S에 속하므로 4∈S\displaystyle 4\in S이어야 하고, 각각의 경우를 확인해보면 x+y=z+w\displaystyle x+y=z+w인 서로 다른 네 원소를 항상 찾을 수 있다. 이는 S\displaystyle S가 흩어진 집합이라는 것에 모순이고, 따라서 a7=4\displaystyle a_7=4이다.또한 a5=4,a7=4\displaystyle a_5=4,a_7=4이므로 a6=4\displaystyle a_6=4이다. 따라서 조건을 만족하는 k\displaystyle k는 5,6,7\displaystyle 5,6,7이다.

+3점 · M=k\displaystyle M=k를 보이면

(3-2) 귀류법을 이용하여 1,k∈S\displaystyle 1,k\in S임을 증명하자.(i) k∉S\displaystyle k\notin S라고 가정하자. 이때 S⊂{1,2,⋯ ,k−1}\displaystyle S\subset\{1,2,\cdots,k-1\}이고 S\displaystyle S는 흩어진 집합이므로 ak−1≥n(S)=ak\displaystyle a_{k-1}\ge n(S)=a_k이다. 이는 ak−1<ak\displaystyle a_{k-1}<a_k에 모순이다. 따라서 k∈S\displaystyle k\in S이다.

+4점 · m=1\displaystyle m=1을 보이면

(ii) 1∉S\displaystyle 1\notin S라고 가정하자. S′={i−1∣i∈S}\displaystyle S^{\prime}=\{i-1\mid i\in S\}라 하자. S\displaystyle S의 모든 원소는 1\displaystyle 1보다 크기 때문에 S′\displaystyle S^{\prime}의 모든 원소는 1\displaystyle 1이상 k−1\displaystyle k-1 이하이다. 그리고 제시문 (나)에 의하여 S′\displaystyle S^{\prime}은 흩어진 집합이고 ak−1≥n(S′)=ak>ak−1\displaystyle a_{k-1}\ge n(S^{\prime})=a_k>a_{k-1}이 되어 모순이 생긴다. 따라서 1∈S\displaystyle 1\in S이다.그러므로 m=1,M=k\displaystyle m=1,M=k이고 M−m\displaystyle M-m으로 가능한 값은 k−1\displaystyle k-1뿐이다.

+5점 · 서로 다른 자연수 a>b>c>d\displaystyle a>b>c>d에 대하여 pa+pd>pb+pc\displaystyle p_a+p_d>p_b+p_c를 보이면

(3-3) (a) 1\displaystyle 1 이상 k\displaystyle k 이하인 서로 다른 자연수 a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d가 존재하여 pa+pb=pc+pd\displaystyle p_a+p_b=p_c+p_d라 가정하자.일반성을 잃지 않고 a>c>d>b\displaystyle a>c>d>b라 하자. a,c,d\displaystyle a,c,d는 자연수이므로 c≤a−1,d≤a−2\displaystyle c\le a-1,d\le a-2이다.이때 pa=pa−1+pa−2≥pc+pd=pa+pb>pa\displaystyle p_a=p_{a-1}+p_{a-2}\ge p_c+p_d=p_a+p_b>p_a이므로 pa+pb=pc+pd\displaystyle p_a+p_b=p_c+p_d라는 것에 모순이다.

+5점 · 위의 부등식을 이용하여 주어진 집합이 흩어진 집합임을 보이면

귀류법에 의하여 {p1,p2,⋯ ,pk}\displaystyle \{p_1,p_2,\cdots,p_k\}는 흩어진 집합이다.

+8점 · 조건을 만족하는 흩어진 집합을 구하면

(b) S={pk−pi+1∣\displaystyle S=\{p_k-p_i+1\mid i\displaystyle i는 1≤i≤k\displaystyle 1\le i\le k인 자연수}\displaystyle \}라 하면 조건 (i), (ii)를 만족한다. 이제 S\displaystyle S가 흩어진 집합임을 증명하자. x1+x2=x3+x4\displaystyle x_1+x_2=x_3+x_4인 서로 다른 네 개의 자연수 x1,x2,x3,x4∈S\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4\in S가 존재한다고 가정하자. i=1,2,3,4\displaystyle i=1,2,3,4에 대하여 yi=pk+1−xi\displaystyle y_i=p_k+1-x_i라 정의하자. 그러면 제시문 (나)에 의하여 y1+y2=y3+y4\displaystyle y_1+y_2=y_3+y_4이고 y1,y2,y3,y4∈{p1,p2,⋯ ,pk}\displaystyle y_1,y_2,y_3,y_4\in\{p_1,p_2,\cdots,p_k\}가 성립한다. 이는 집합 {p1,p2,⋯ ,pk}\displaystyle \{p_1,p_2,\cdots,p_k\}가 흩어진 집합이라는 것에 모순이다. 따라서 S\displaystyle S는 흩어진 집합이다.

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