자연계열 1번

(1-1) 삼각함수의 성질 $\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1$, $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$를 활용하면,$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^8\sin^2\frac{n\pi}{16}&=\left(\sin^2\frac{\pi}{16}+\sin^2\frac{7\pi}{16}\right)+\left(\sin^2\frac{2\pi}{16}+\sin^2\frac{6\pi}{16}\right)+\left(\sin^2\frac{3\pi}{16}+\sin^2\frac{5\pi}{16}\right)+\sin^2\frac{4\pi}{16}+\sin^2\frac{8\pi}{16}\\&=\left(\sin^2\frac{\pi}{16}+\cos^2\frac{\pi}{16}\right)+\left(\sin^2\frac{2\pi}{16}+\cos^2\frac{2\pi}{16}\right)+\left(\sin^2\frac{3\pi}{16}+\cos^2\frac{3\pi}{16}\right)+\sin^2\frac{4\pi}{16}+\sin^2\frac{8\pi}{16}\\&=1+1+1+\frac{1}{2}+1=\frac{9}{2}\end{aligned}$임을 알 수 있다.

(1-2) 삼각함수의 덧셈정리에 의하여 $\displaystyle \int_0^\pi e^x\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}dx=\frac{1}{2}\int_0^\pi e^x\sin\frac{x}{2}dx$이다. 제시문 (가)에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi e^x\sin\frac{x}{2}dx&=\Biggl[e^x\sin\frac{x}{2}\Biggr]_0^\pi-\frac{1}{2}\int_0^\pi e^x\cos\frac{x}{2}dx=e^\pi-\frac{1}{2}\left(\Biggl[e^x\cos\frac{x}{2}\Biggr]_0^\pi+\frac{1}{2}\int_0^\pi e^x\sin\frac{x}{2}dx\right)\\&=e^\pi-\frac{1}{2}\left(-1+\frac{1}{2}\int_0^\pi e^x\sin\frac{x}{2}dx\right)\end{aligned}$이다. 식을 정리하면 $\displaystyle \frac{5}{4}\int_0^\pi e^x\sin\frac{x}{2}dx=e^\pi+\frac{1}{2}$이므로, 구하고자 하는 정적분 값은 $\displaystyle \int_0^\pi e^x\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}dx=\frac{2}{5}e^\pi+\frac{1}{5}$이다.

(1-3) $\displaystyle f(0)=0$이고, 삼각함수의 성질 $\displaystyle \sin x=-\sin(2\pi-x)$에 의하여$\displaystyle f(\pi)=\sum_{n=1}^{16}\sin\frac{n\pi}{8}=\left(\sin\frac{\pi}{8}+\sin\frac{15\pi}{8}\right)+\left(\sin\frac{2\pi}{8}+\sin\frac{14\pi}{8}\right)+\cdots+\left(\sin\frac{7\pi}{8}+\sin\frac{9\pi}{8}\right)+\sin\frac{8\pi}{8}+\sin\frac{16\pi}{8}=0$이다. 또한 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{16}\frac{n}{8}\cos\frac{nx}{8}=\frac{1}{8}g(x)$이므로, 제시문 (가)에 의하여

$\displaystyle \int_0^\pi e^x f(x)g(x)dx=8\int_0^\pi e^x f(x)f^{\prime}(x)dx=8\Biggl[e^x|f(x)|^2\Biggr]_0^\pi-8\int_0^\pi e^x f(x)f^{\prime}(x)dx-8\int_0^\pi e^x|f(x)|^2dx$이고, $\displaystyle \int_0^\pi e^x f(x)g(x)dx=-4\int_0^\pi e^x|f(x)|^2dx$이다. 이때 함수 $\displaystyle e^x|f(x)|^2\ge0$이고 상수함수가 아니므로, 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle \int_0^\pi e^x|f(x)|^2dx>0$이므로, 주어진 부등식이 성립한다.