자연계열 (오후) 1번

(1-1) 다음 세 가지 경우로 나눌 수 있다.(i) $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$가 모두 변 $\displaystyle BC$ 위에 있을 때 $\displaystyle \left(0\le x\le\frac{\pi}{12}\right)$,$\displaystyle \overline{AP}=\frac{10}{\cos x}$이고 $\displaystyle \overline{AQ}=\frac{10}{\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}$이다. 따라서 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle S(x)=\frac{25}{\cos x\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}$이다.Correction. 삼각형의 넓이 공식은 제시문 (가)에 있으므로 ‘제시문 (나)’는 ‘제시문 (가)’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(ii) $\displaystyle P$는 변 $\displaystyle BC$ 위에 있고 $\displaystyle Q$는 변 $\displaystyle CD$ 위에 있을 때 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{12}\le x\le\frac{\pi}{4}\right)$,$\displaystyle \overline{AP}=\frac{10}{\cos x}$이고 $\displaystyle \overline{AQ}=\frac{10}{\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}$이다. 따라서 $\displaystyle S(x)=\frac{25}{\cos x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}$이다.(iii) $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$가 모두 변 $\displaystyle CD$ 위에 있을 때 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{\pi}{3}\right)$,$\displaystyle \overline{AP}=\frac{10}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=\frac{10}{\sin x}$, $\displaystyle \overline{AQ}=\frac{10}{\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}$이다. 따라서 $\displaystyle S(x)=\frac{25}{\sin x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}$이다.결론적으로,$\displaystyle S(x)=\begin{cases}\frac{25}{\cos x\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}&\left(0\le x\le\frac{\pi}{12}\right)\\\frac{25}{\cos x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}&\left(\frac{\pi}{12}<x<\frac{\pi}{4}\right)\\\frac{25}{\sin x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}&\left(\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{\pi}{3}\right)\end{cases}$

(1-2) $\displaystyle S^{\prime}(x)$를 각 구간에서 계산하면$\displaystyle S^{\prime}(x)=\begin{cases}\frac{25\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos^2x\cos^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}&\left(0\le x<\frac{\pi}{12}\right)\\\frac{25\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos^2x\cos^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}&\left(\frac{\pi}{12}<x<\frac{\pi}{4}\right)\\\frac{-25\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)}{\sin^2x\cos^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}&\left(\frac{\pi}{4}<x\le\frac{\pi}{3}\right)\end{cases}$이다. $\displaystyle S^{\prime}(x)$를 살펴보면,(i) $\displaystyle 0\le x<\frac{\pi}{12}$일 때 $\displaystyle S^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle S(x)$는 증가한다.(ii) $\displaystyle \frac{\pi}{12}<x<\frac{\pi}{4}$일 때 $\displaystyle S^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)=0$이며, $\displaystyle \frac{\pi}{12}<x<\frac{\pi}{6}$일 때 $\displaystyle S^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle \frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{4}$일 때 $\displaystyle S^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle S(x)$는 $\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$일 때 극솟값을 갖는다.(iii) $\displaystyle \frac{\pi}{4}<x\le\frac{\pi}{3}$일 때 $\displaystyle S^{\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle S(x)$는 감소한다.이것으로부터 $\displaystyle x=\frac{\pi}{12}$일 때와 대칭적으로 $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$일 때 극댓값을 갖는다는 것을 알 수 있다.

(1-3) (1-2)에서 살펴본 대로 $\displaystyle x=\frac{\pi}{12}$일 때와 $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$일 때 $\displaystyle S(x)$가 최댓값을 갖는다는 것을 알 수 있다. 한편 $\displaystyle S(x)$는 $\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$일 때 극솟값을 갖지만 $\displaystyle S\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{100}{3}$이고 $\displaystyle S(0)=S\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{50}{\sqrt{3}}$인데, $\displaystyle \frac{100}{3}>\frac{50}{\sqrt{3}}$이므로 $\displaystyle x=0$일 때와 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$일 때 $\displaystyle S(x)$가 최솟값을 갖는다.