수리논술, 이게 다다.

자연계열 (오후) 3번

오류 제보

인하대 2025학년도 수시 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2025su/jayeon_pm_3

이전 문제
배점35점
예상 소요 시간40분

문제

[문제 3] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(사잇값의 정리) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(a)≠f(b)\displaystyle f(a)\neq f(b)이면, f(a)\displaystyle f(a)와 f(b)\displaystyle f(b) 사이의 임의의 값 k\displaystyle k에 대하여 f(c)=k\displaystyle f(c)=k인 c\displaystyle c가 열린구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

(※) 실수 a (a>1)\displaystyle a\ (a>1)에 대하여 양의 실수의 집합에서 정의된 연속함수 f(x)\displaystyle f(x)가 다음과 같다. (단, b,c\displaystyle b,c는 양의 실수이다.)f(x)={log⁡ax(0<x<2)bx(2≤x<4)log⁡cx(x≥4)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\log_a x&(0<x<2)\\b^x&(2\le x<4)\\\log_c x&(x\ge4)\end{cases}

(3-1) (log⁡a)2log⁡c\displaystyle \frac{(\log a)^2}{\log c}의 값을 구하시오. (10점)

(3-2) 방정식 f(x)=12\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}의 해가 되는 양의 실수 x\displaystyle x의 값이 3\displaystyle 3개가 되도록 하는 a\displaystyle a의 값의 범위를 구하시오. (10점)

(3-3) f(f(β))=f(8)\displaystyle f(f(\beta))=f(8)이고 f(β)≠8\displaystyle f(\beta)\neq8인 실수 β (β>1)\displaystyle \beta\ (\beta>1)가 존재하도록 하는 a\displaystyle a의 값의 범위를 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

인하대 2025학년도 수시 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2025su/jayeon_pm_3

+3점 · 연속함수의 정의로부터 a,b,c\displaystyle a,b,c의 관계를 얻으면

(3-1) 연속함수의 정의로부터 log⁡a2=b2\displaystyle \log_a2=b^2이고 log⁡c4=b4\displaystyle \log_c4=b^4이므로, (log⁡a2)2=log⁡c4\displaystyle (\log_a2)^2=\log_c4이다.

+7점 · 로그의 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 구하면

따라서 (log⁡a)2log⁡c=12log⁡2\displaystyle \frac{(\log a)^2}{\log c}=\frac{1}{2}\log2이다.

+6점 · 그래프의 개형에서 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [2,4]\displaystyle [2,4]에서 감소함수이며 f(2)>12\displaystyle f(2)>\frac{1}{2}이고 f(4)<12\displaystyle f(4)<\frac{1}{2}이어야 한다는 사실을 파악하면

(3-2) f(x)\displaystyle f(x)는 구간 (0,2]\displaystyle (0,2]와 구간 [4,∞)\displaystyle [4,\infty)에서 각각 증가함수이다.따라서 문제의 조건을 만족하려면 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [2,4]\displaystyle [2,4]에서 감소함수여야 하며 그래프의 개형으로부터 f(2)>12\displaystyle f(2)>\frac{1}{2}이고 f(4)<12\displaystyle f(4)<\frac{1}{2}이어야 한다.

+4점 · a\displaystyle a의 범위를 구하면

이를 만족하는 a\displaystyle a의 범위는 22<a<4\displaystyle 2^{\sqrt{2}}<a<4이다.

+3점 · f(x)=f(8) (x≠8)\displaystyle f(x)=f(8)\ (x\neq8)인 x\displaystyle x가 존재하려면 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [2,4]\displaystyle [2,4]에서 감소하여야 한다는 사실을 파악하면
+3점 · f(2)≥f(8)\displaystyle f(2)\ge f(8)이어야 함을 서술하면
+5점 · 다른 해가 f(x)\displaystyle f(x)의 치역에 있으면 조건을 만족한다는 사실을 파악하면

(3-3) 방정식 f(x)=f(8)\displaystyle f(x)=f(8)의 해가 x=8\displaystyle x=8뿐이라면 f(f(β))=f(8)\displaystyle f(f(\beta))=f(8)는 f(β)=8\displaystyle f(\beta)=8을 의미하게 되므로 문제의 조건을 만족하지 않기 때문에 방정식 f(x)=f(8)\displaystyle f(x)=f(8)은 x=8\displaystyle x=8이 아닌 해를 가져야 한다.역으로 방정식 f(x)=f(8)\displaystyle f(x)=f(8)이 해 x=k (k≠8)\displaystyle x=k\ (k\neq8)을 갖는다면, f(x)\displaystyle f(x)의 그래프의 개형 또는 사잇값의 정리에 의해 f(x)\displaystyle f(x)의 치역은 실수 전체의 집합이므로 f(β)=k (k≠8)\displaystyle f(\beta)=k\ (k\neq8)를 만족하는 β\displaystyle \beta가 존재한다. 이때 f(f(β))=f(8)\displaystyle f(f(\beta))=f(8)이 성립한다.따라서 문제의 조건을 만족하려면 f(x)\displaystyle f(x)는 닫힌구간 [2,4]\displaystyle [2,4]에서 감소함수이고 f(2)≥f(8)\displaystyle f(2)\ge f(8)이어야 한다.

+4점 · a\displaystyle a의 범위를 구하면

즉, log⁡a2≥log⁡c8\displaystyle \log_a2\ge\log_c8이어야 하는데, 이는 3log⁡a≤log⁡c=2(log⁡a)2log⁡2\displaystyle 3\log a\le\log c=\frac{2(\log a)^2}{\log2}, 즉, log⁡a≥32log⁡2\displaystyle \log a\ge\frac{3}{2}\log2와 동치이므로, 문제의 조건을 만족하는 a\displaystyle a의 범위는 a≥22\displaystyle a\ge2\sqrt{2}이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.