자연계열 (오후) 3번

(3-1) 연속함수의 정의로부터 $\displaystyle \log_a2=b^2$이고 $\displaystyle \log_c4=b^4$이므로, $\displaystyle (\log_a2)^2=\log_c4$이다.따라서 $\displaystyle \frac{(\log a)^2}{\log c}=\frac{1}{2}\log2$이다.

(3-2) $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,2]$와 구간 $\displaystyle [4,\infty)$에서 각각 증가함수이다.따라서 문제의 조건을 만족하려면 $\displaystyle f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [2,4]$에서 감소함수여야 하며 그래프의 개형으로부터 $\displaystyle f(2)>\frac{1}{2}$이고 $\displaystyle f(4)<\frac{1}{2}$이어야 한다. 이를 만족하는 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle 2^{\sqrt{2}}<a<4$이다.

(3-3) 방정식 $\displaystyle f(x)=f(8)$의 해가 $\displaystyle x=8$뿐이라면 $\displaystyle f(f(\beta))=f(8)$는 $\displaystyle f(\beta)=8$을 의미하게 되므로 문제의 조건을 만족하지 않기 때문에 방정식 $\displaystyle f(x)=f(8)$은 $\displaystyle x=8$이 아닌 해를 가져야 한다.역으로 방정식 $\displaystyle f(x)=f(8)$이 해 $\displaystyle x=k\ (k\neq8)$을 갖는다면, $\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형 또는 사잇값의 정리에 의해 $\displaystyle f(x)$의 치역은 실수 전체의 집합이므로 $\displaystyle f(\beta)=k\ (k\neq8)$를 만족하는 $\displaystyle \beta$가 존재한다. 이때 $\displaystyle f(f(\beta))=f(8)$이 성립한다.따라서 문제의 조건을 만족하려면 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [2,4]$에서 감소함수이고 $\displaystyle f(2)\ge f(8)$이어야 한다.즉, $\displaystyle \log_a2\ge\log_c8$이어야 하는데, 이는 $\displaystyle 3\log a\le\log c=\frac{2(\log a)^2}{\log2}$, 즉, $\displaystyle \log a\ge\frac{3}{2}\log2$와 동치이므로, 문제의 조건을 만족하는 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle a\ge2\sqrt{2}$이다.