자연계열 (오후) 2번

(2-1) 점 $\displaystyle P$에서는 두 함수의 함숫값이 같고 미분계수도 같다. 따라서 이 점에서는 두 개의 등식 $\displaystyle \frac{a}{3}x^2+1=b\sqrt{x}$와 $\displaystyle \frac{2a}{3}x=\frac{b}{2\sqrt{x}}$가 성립한다.먼저, $\displaystyle \frac{2a}{3}x=\frac{b}{2\sqrt{x}}$로부터 $\displaystyle b=\frac{4a}{3}x^{\frac{3}{2}}$을 얻는다. 이것을 $\displaystyle \frac{a}{3}x^2+1=b\sqrt{x}$에 대입하면 $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{a}}=a^{-\frac{1}{2}}$이다. 따라서 $\displaystyle b=\frac{4}{3}a^{\frac{1}{4}}$이 된다.

(2-2) 점 $\displaystyle P$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{a}}$이므로 $\displaystyle P=\left(\frac{1}{\sqrt{a}},\frac{4}{3}\right)$이다. 이 점에서의 접선의 기울기, 즉 미분계수는 $\displaystyle \frac{2\sqrt{a}}{3}$이다. 따라서 접선의 방정식은 $\displaystyle y-\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{a}}{3}\left(x-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)$이고 이것을 정리하면 $\displaystyle y=\frac{2\sqrt{a}}{3}x+\frac{2}{3}$이다. 그러므로 $\displaystyle a$의 값에 관계없이 접선이 $\displaystyle y$축 위의 점 $\displaystyle \left(0,\frac{2}{3}\right)$를 지난다.

(2-3) 접선 $\displaystyle y=\frac{2\sqrt{a}}{3}x+\frac{2}{3}$에 의해 생긴 두 도형 중 윗도형의 넓이는$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}}\left(\frac{a}{3}x^2+1-\frac{2\sqrt{a}}{3}x-\frac{2}{3}\right)dx=\Biggl[\frac{a}{9}x^3-\frac{\sqrt{a}}{3}x^2+\frac{x}{3}\Biggr]_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}}=\frac{1}{9\sqrt{a}}$이다. 아랫도형의 넓이는$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}}\left(\frac{2\sqrt{a}}{3}x+\frac{2}{3}-\frac{4}{3}a^{\frac{1}{4}}\sqrt{x}\right)dx=\Biggl[\frac{1}{3}\sqrt{a}x^2+\frac{2}{3}x-4a^{\frac{1}{4}}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Biggr]_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}}=\frac{1}{9\sqrt{a}}$Correction. 아랫도형 넓이의 원시함수에서 마지막 항은 $\displaystyle -\frac43a^{1/4}\cdot\frac23x^{3/2}$이다. 계수의 분모에 $\displaystyle 3$이 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 따라서 이 접선은 도형 $\displaystyle A$를 항상 $\displaystyle 1:1$의 비율로 나눈다.