자연계열 (오후) 2번

인하대 2025학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2025su/jayeon_pm_2

[문제 2] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) (접선의 방정식) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

(나) 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle y=g(x)$ 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx$

(※) 양의 실수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 두 곡선 $\displaystyle y=\frac{a}{3}x^2+1$ 과 $\displaystyle y=b\sqrt{x}$ 가 한 점 $\displaystyle P$ 에서만 만나고, 점 $\displaystyle P$ 에서의 곡선 $\displaystyle y=\frac{a}{3}x^2+1$ 의 접선과 곡선 $\displaystyle y=b\sqrt{x}$ 의 접선이 서로 일치한다고 하자.

(2-1) $\displaystyle b$ 를 $\displaystyle a$ 의 식으로 나타내시오. (10점)

(2-2) 점 $\displaystyle P$ 에서의 곡선 $\displaystyle y=\frac{a}{3}x^2+1$ 의 접선이 $\displaystyle a$ 의 값에 관계없이 좌표평면의 일정한 점을 지남을 보이시오. (10점)

(2-3) 두 곡선 $\displaystyle y=\frac{a}{3}x^2+1$ , $\displaystyle y=b\sqrt{x}$ 및 $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle A$ 라 하자. 점 $\displaystyle P$ 에서의 곡선 $\displaystyle y=\frac{a}{3}x^2+1$ 의 접선에 의해 도형 $\displaystyle A$ 가 두 개의 도형으로 나누어진다. 이때 이 두 도형의 넓이의 비는 $\displaystyle a$ 의 값에 관계없이 일정함을 보이시오. (15점)

해설강의 준비중

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+4점 · 두 곡선이 한 점에서 만나는 조건과 그 점에서의 미분계수가 같다는 조건을 식으로 쓰면

(2-1) 점 $\displaystyle P$ 에서는 두 함수의 함숫값이 같고 미분계수도 같다. 따라서 이 점에서는 두 개의 등식 $\displaystyle \frac{a}{3}x^2+1=b\sqrt{x}$ 와 $\displaystyle \frac{2a}{3}x=\frac{b}{2\sqrt{x}}$ 가 성립한다.

+6점 · 관계식을 구하면

먼저, $\displaystyle \frac{2a}{3}x=\frac{b}{2\sqrt{x}}$ 로부터 $\displaystyle b=\frac{4a}{3}x^{\frac{3}{2}}$ 을 얻는다. 이것을 $\displaystyle \frac{a}{3}x^2+1=b\sqrt{x}$ 에 대입하면 $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{a}}=a^{-\frac{1}{2}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle b=\frac{4}{3}a^{\frac{1}{4}}$ 이 된다.

+3점 ·

\displaystyle P

의 좌표를 구하면

(2-2) 점 $\displaystyle P$ 의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{a}}$ 이므로 $\displaystyle P=\left(\frac{1}{\sqrt{a}},\frac{4}{3}\right)$ 이다.

+4점 · 접선의 방정식을 구하면

이 점에서의 접선의 기울기, 즉 미분계수는 $\displaystyle \frac{2\sqrt{a}}{3}$ 이다. 따라서 접선의 방정식은 $\displaystyle y-\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{a}}{3}\left(x-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)$ 이고 이것을 정리하면 $\displaystyle y=\frac{2\sqrt{a}}{3}x+\frac{2}{3}$ 이다.

+3점 · 항상

\displaystyle \left(0,\frac{2}{3}\right)

을 지남을 밝히면

그러므로 $\displaystyle a$ 의 값에 관계없이 접선이 $\displaystyle y$ 축 위의 점 $\displaystyle \left(0,\frac{2}{3}\right)$ 를 지난다.

+6점 · 윗도형의 넓이를 구하면

(2-3) 접선 $\displaystyle y=\frac{2\sqrt{a}}{3}x+\frac{2}{3}$ 에 의해 생긴 두 도형 중 윗도형의 넓이는 $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}}\left(\frac{a}{3}x^2+1-\frac{2\sqrt{a}}{3}x-\frac{2}{3}\right)dx=\Biggl[\frac{a}{9}x^3-\frac{\sqrt{a}}{3}x^2+\frac{x}{3}\Biggr]_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}}=\frac{1}{9\sqrt{a}}$ 이다.

+6점 · 아랫도형의 넓이를 구하면

아랫도형의 넓이는 $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}}\left(\frac{2\sqrt{a}}{3}x+\frac{2}{3}-\frac{4}{3}a^{\frac{1}{4}}\sqrt{x}\right)dx=\Biggl[\frac{1}{3}\sqrt{a}x^2+\frac{2}{3}x-4a^{\frac{1}{4}}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Biggr]_0^{\frac{1}{\sqrt{a}}}=\frac{1}{9\sqrt{a}}$ Correction. 아랫도형 넓이의 원시함수에서 마지막 항은 $\displaystyle -\frac43a^{1/4}\cdot\frac23x^{3/2}$ 이다. 계수의 분모에 $\displaystyle 3$ 이 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

+3점 · 두 도형의 넓이가 항상 같음을 서술하면

따라서 이 접선은 도형 $\displaystyle A$ 를 항상 $\displaystyle 1:1$ 의 비율로 나눈다.

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