자연계열 3번

(3-1) 접점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle c$라 하면 접선의 기울기로부터 $\displaystyle 2c=\frac{c^2+b}{c-a}$이고 $\displaystyle c=a\pm\sqrt{a^2+b}$이다. 따라서 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$의 $\displaystyle x$좌표는 각각 $\displaystyle a-\sqrt{a^2+b}$, $\displaystyle a+\sqrt{a^2+b}$이고 $\displaystyle P^{\prime}=(a-\sqrt{a^2+b},0)$, $\displaystyle Q^{\prime}=(a+\sqrt{a^2+b},0)$이므로 사다리꼴 $\displaystyle PP^{\prime}Q^{\prime}Q$의 넓이는

$\displaystyle \frac{1}{2}\times(\overline{PP^{\prime}}+\overline{QQ^{\prime}})\times\overline{P^{\prime}Q^{\prime}}=\frac{1}{2}\times4(a^2+b)\times2\sqrt{a^2+b}=4(a^2+b)^{\frac{3}{2}}$이다.

(3-2) (a) 제시문 (나)에 의하여 판별식이$\displaystyle (p-2)^2-4(p^3-4p+4)=-4p^3+p^2+12p-12=(p+2)(-4p^2+9p-6)$이므로 $\displaystyle h(p)=-4p^2+9p-6=-4\left(p-\frac{9}{8}\right)^2-\frac{15}{16}$는 $\displaystyle p=\frac{9}{8}$에서 최댓값 $\displaystyle -\frac{15}{16}$를 가진다.

(b) $\displaystyle p\in(-2,2)$이므로 $\displaystyle p+2>0$이다. 따라서 (a)에 의하여 $\displaystyle g(x)=0$의 판별식 $\displaystyle (p+2)h(p)$는 음수이고 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)>0$이다.

곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 꼭짓점이 $\displaystyle y$축 위에 오도록 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 점 $\displaystyle A$를 평행이동하면 (3-1)과 같은 상황이 된다. (3-1)에서 사다리꼴 $\displaystyle PP^{\prime}Q^{\prime}Q$의 넓이는 $\displaystyle 4(a^2+b)^{\frac{3}{2}}=4f(a)^{\frac{3}{2}}$이므로 사다리꼴 $\displaystyle BB^{\prime}C^{\prime}C$의 넓이는$\displaystyle S=4g(1)^{\frac{3}{2}}=4(p^3-3p+3)^{\frac{3}{2}}$이다.

(c) $\displaystyle S$는 $\displaystyle p^3-3p+3$이 최소일 때 최솟값을 가진다. $\displaystyle r(p)=p^3-3p+3$이라 하면 $\displaystyle r^{\prime}(p)=3p^2-3$이므로 $\displaystyle p=1$에서 극솟값, $\displaystyle p=-1$에서 극댓값을 가진다. $\displaystyle \lim_{p\to-2^+}r(p)=1=r(1)$이므로 $\displaystyle S$는 $\displaystyle p=1$일 때 최솟값을 가지고 이때 $\displaystyle S=4$이다.