자연계열 2번

(2-1) (a) $\displaystyle \cos(t-1)\sin(t-2)\sin(t^2)=0$이므로 $\displaystyle \cos(t-1)=0$, $\displaystyle \sin(t-2)=0$ 또는 $\displaystyle \sin(t^2)=0$이다. 따라서 $\displaystyle t-1=\pm\frac{\pi}{2}+2n\pi$, $\displaystyle t-2=n\pi$ 또는 $\displaystyle t^2=n\pi$ ($\displaystyle n$은 정수)꼴이 되어야 한다.$\displaystyle 0<t<3$이므로 $\displaystyle -1<t-1<2$, $\displaystyle -2<t-2<1$, $\displaystyle 0<t^2<9$이다. 따라서 범위 내에서 함숫값이 $\displaystyle 0$이 되는 $\displaystyle t$의 값들은 $\displaystyle 1+\frac{\pi}{2}$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle \sqrt{\pi}$, $\displaystyle \sqrt{2\pi}$이다.

(b) $\displaystyle F(x)=\int_0^x\cos(t-1)\sin(t-2)\sin(t^2)dt$를 미분하면$\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)=\cos(x-1)\sin(x-2)\sin(x^2)$이고, 범위 내에서 이 값이 $\displaystyle 0$이 되는 $\displaystyle x$의 값들을 순서대로 나열하면 $\displaystyle \sqrt{\pi}$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle \sqrt{2\pi}$, $\displaystyle 1+\frac{\pi}{2}$이다. (제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle 1+\frac{\pi}{2}>\sqrt{2\pi}$이다.)이제 각 값에 대하여 그 값의 좌우에서 $\displaystyle \cos(x-1)$, $\displaystyle \sin(x-2)$, $\displaystyle \sin(x^2)$의 부호를 관찰하자. $\displaystyle \frac{\pi}{2}$의 좌우에서 코사인함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌고 $\displaystyle 0$의 좌우에서 사인함수의 부호가 음에서 양으로, $\displaystyle \pi$의 좌우에서 사인함수의 부호가 양에서 음으로 바뀐다. 그러므로$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccc}x&\cdots&\sqrt{\pi}&\cdots&2&\cdots&\sqrt{2\pi}&\cdots&1+\frac{\pi}{2}&\cdots\\\hline\cos(x-1)&+&+&+&+&+&+&+&0&-\\\sin(x-2)&-&-&-&0&+&+&+&+&+\\\sin(x^2)&+&0&-&-&-&0&+&+&+\\\hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+&0&-\end{array}$

그러므로 제시문 (가)에 의해 함수 $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle \sqrt{\pi}$, $\displaystyle \sqrt{2\pi}$에서 극솟값을, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 1+\frac{\pi}{2}$에서 극댓값을 갖는다.

(2-2) (a) $\displaystyle -\sqrt{\pi}<t<\sqrt{\pi}$이므로 $\displaystyle 0\le t^2<\pi$이고, 따라서 $\displaystyle -n\le t^2-n<\pi-n$이다. 범위를 고려하여 각 항이 $\displaystyle 0$이 되는 $\displaystyle t$의 값을 찾으면 다음과 같다.$\displaystyle \cos(t^2-1)=0\ \Leftrightarrow\ t^2-1=\frac{\pi}{2}\ \Leftrightarrow\ t=\pm\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}$$\displaystyle \sin(t^2-2)=0\ \Leftrightarrow\ t^2-2=0\ \Leftrightarrow\ t=\pm\sqrt{2}$$\displaystyle \cos(t^2-3)=0\ \Leftrightarrow\ t^2-3=-\frac{\pi}{2}\ \Leftrightarrow\ t=\pm\sqrt{3-\frac{\pi}{2}}$$\displaystyle \sin(t^2-4)=0\ \Leftrightarrow\ t^2-4=-\pi\ \Leftrightarrow\ t=\pm\sqrt{4-\pi}$즉, 해는 $\displaystyle t=\pm\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}$, $\displaystyle \pm\sqrt{2}$, $\displaystyle \pm\sqrt{3-\frac{\pi}{2}}$, $\displaystyle \pm\sqrt{4-\pi}$이다.

1) $\displaystyle x=-\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}$ 또는 $\displaystyle x=\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}$인 경우.$\displaystyle \cos^2(x^2-3)\sin^2(x^2-4)$의 부호는 이 점들의 근방에서 항상 양수이므로, $\displaystyle \cos(x^2-1)$과 $\displaystyle \sin(x^2-2)$의 부호만 고려하면 된다. $\displaystyle x^2-2=\frac{\pi}{2}-1$이므로 이 점들의 근방에서 $\displaystyle \sin(x^2-2)$의 값은 양수이다.$\displaystyle x=-\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}$의 좌우에서 $\displaystyle x^2-1$은 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$보다 큰 값에서 작은 값으로 변하고, $\displaystyle \cos(x^2-1)$은 음수에서 양수로 변한다.$\displaystyle x=\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}$의 좌우에서 $\displaystyle x^2-1$은 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$보다 작은 값에서 큰 값으로 변하고, $\displaystyle \cos(x^2-1)$은 양수에서 음수로 변한다.그러므로 제시문 (가)에 의해 $\displaystyle x=-\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}$에서 극솟값을 갖고, $\displaystyle x=\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}$에서 극댓값을 갖는다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&\cdots&-\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}&\cdots&\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}&\cdots\\\hline\cos(x^2-1)&-&0&+&0&-\\\sin(x^2-2)&+&+&+&+&+\\\cos^2(x^2-3)\sin^2(x^2-4)&+&+&+&+&+\\\hline g(x)&-&0&+&0&-\end{array}$

2) $\displaystyle x=-\sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle x=\sqrt{2}$인 경우.$\displaystyle \cos^2(x^2-3)\sin^2(x^2-4)$의 부호는 이 점들의 근방에서 항상 양수이므로, $\displaystyle \cos(x^2-1)$과 $\displaystyle \sin(x^2-2)$의 부호만 고려하면 된다. $\displaystyle x^2-1=1$이므로 이 점들의 근방에서 $\displaystyle \cos(x^2-1)$의 값은 양수이다.$\displaystyle x=-\sqrt{2}$의 좌우에서 $\displaystyle x^2-2$는 $\displaystyle 0$보다 큰 값에서 작은 값으로 변하고, $\displaystyle \sin(x^2-2)$는 양수에서 음수로 변한다.$\displaystyle x=\sqrt{2}$의 좌우에서 $\displaystyle x^2-2$는 $\displaystyle 0$보다 작은 값에서 큰 값으로 변하고, $\displaystyle \sin(x^2-2)$는 음수에서 양수로 변한다.그러므로 제시문 (가)에 의해 $\displaystyle x=-\sqrt{2}$에서 극댓값을 갖고, $\displaystyle x=\sqrt{2}$에서 극솟값을 갖는다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&\cdots&-\sqrt{2}&\cdots&\sqrt{2}&\cdots\\\hline\cos(x^2-1)&+&+&+&+&+\\\sin(x^2-2)&+&0&-&0&+\\\cos^2(x^2-3)\sin^2(x^2-4)&+&+&+&+&+\\\hline g(x)&+&0&-&0&+\end{array}$

3) $\displaystyle x=\sqrt{3-\frac{\pi}{2}}$ 또는 $\displaystyle x=-\sqrt{3-\frac{\pi}{2}}$인 경우.이 점들의 좌우에서 $\displaystyle \cos^2(x^2-3)$의 값은 항상 양수이므로, 함숫값의 부호가 바뀌지 않는다. 따라서 이 점들에서 극댓값이나 극솟값을 갖지 않는다.4) $\displaystyle x=\sqrt{4-\pi}$ 또는 $\displaystyle x=-\sqrt{4-\pi}$인 경우.이 점들의 좌우에서 $\displaystyle \sin^2(x^2-4)$의 값은 항상 양수이므로, 함숫값의 부호가 바뀌지 않는다. 따라서 이 점들에서 극댓값이나 극솟값을 갖지 않는다.

따라서 $\displaystyle G(x)$가 극댓값을 갖는 점은 $\displaystyle \sqrt{1+\frac{\pi}{2}}$, $\displaystyle -\sqrt{2}$이고, 극솟값을 갖는 점은 $\displaystyle -\sqrt{1+\frac{\pi}{2}}$, $\displaystyle \sqrt{2}$이다.