의예과 2번

(2-1) $\displaystyle \sin\left(2x-\frac{3}{2}a_n\right)=\cos\left(2x-\frac{3}{2}a_n-\frac{\pi}{2}\right)$이므로 $\displaystyle \sin\left(2x-\frac{3}{2}a_n\right)=\cos\left(x-\frac{3}{2}a_n\right)$이면 $\displaystyle 2x-\frac{3}{2}a_n-\frac{\pi}{2}=x-\frac{3}{2}a_n+2l\pi$인 정수 $\displaystyle l$이 존재하거나 $\displaystyle 2x-\frac{3}{2}a_n-\frac{\pi}{2}=2k\pi-\left(x-\frac{3}{2}a_n\right)$인 정수 $\displaystyle k$가 존재한다. 각각의 경우$\displaystyle x=\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+2\pi,\frac{\pi}{2}+4\pi,\frac{\pi}{2}+6\pi,\cdots$ ··············· ①또는$\displaystyle x=a_n+\frac{\pi}{6},a_n+\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3},a_n+\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3},a_n+\frac{\pi}{6}+\frac{6\pi}{3},\cdots$ 중 양수인 것이다. ······· ②Comment. 두 번째 해는 $\displaystyle a_n+\frac\pi6+\frac{2k\pi}{3}$에서 $\displaystyle k$가 모든 정수일 때 양수인 값이다. 예를 들어 $\displaystyle a_n=\frac{4\pi}{3}$일 때에는 음의 $\displaystyle k$에서 나오는 $\displaystyle \frac\pi6$, $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$도 포함해야 한다. 뒤의 풀이는 이 전체 해집합을 이용했다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.①을 만족하는 $\displaystyle x$의 값은 수열의 이전 항의 값에 관계없이 결정되며, ②를 만족하는 $\displaystyle x$의 값은 이전 항의 값에 따라서 달라질 수 있다.① 또는 ②를 만족하는 $\displaystyle x$의 값을 작은 것부터 나열해 보면 $\displaystyle a_2$는 $\displaystyle \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\cdots$중에서 $\displaystyle 2$번째 값인 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$이고, $\displaystyle a_3$는 $\displaystyle \frac{\pi}{2},\frac{2}{3}\pi,\frac{4}{3}\pi,2\pi\cdots$ 중에서 $\displaystyle 3$번째 값인 $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$이다.

(경우 1) $\displaystyle n=1$일 때 ①을 만족하는 값 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$와 ②를 만족하는 가장 작은 값이 서로 다르면, $\displaystyle a_2$는 이 두 값 중 더 큰 값이다. ②를 만족하는 양수 중 가장 작은 값이 $\displaystyle a_1+\frac{\pi}{6}$가 되려면 $\displaystyle a_1+\frac{\pi}{6}\le\frac{2\pi}{3}$이어야 하고 이 값이 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$보다 크려면 $\displaystyle \frac{\pi}{2}<a_1+\frac{\pi}{6}$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle \frac{\pi}{3}<a_1\le\frac{\pi}{2}$이다.

(경우 2) $\displaystyle n=1$일 때 ①을 만족하는 값 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$와 ②를 만족하는 가장 작은 값이 같으면, $\displaystyle a_2$는 ②를 만족하는 $\displaystyle x$의 값 중 크기순으로 두 번째의 값이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}<a_2\le\frac{4\pi}{3}$이어야 하는데, $\displaystyle a_2=a_1+\frac{\pi}{6}$이므로 ②를 만족하는 가장 작은 값은 $\displaystyle a_1+\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}$이고 이 값이 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$와 같아야 한다. 따라서 $\displaystyle a_1=\pi$이다.그러므로 문제의 조건을 만족하려면 $\displaystyle \frac{\pi}{3}<a_1\le\frac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle a_1=\pi$이다.

(2-3) $\displaystyle \frac{\pi}{2}<a_2=a_1+\frac{\pi}{6}<\frac{2\pi}{3}$인 경우, $\displaystyle a_3$는 ②를 만족하는 값 중 구간 $\displaystyle \left(\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right]$에 있는 것이다. 따라서 $\displaystyle a_3=a_2+\frac{\pi}{6}=a_1+\frac{\pi}{3}$이다.$\displaystyle a_4$는 ②를 만족하는 값 중에 구간 $\displaystyle \left(\frac{4\pi}{3},2\pi\right]$에 있는 것이므로 $\displaystyle a_4=\left(a_3+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{2\pi}{3}=a_1+\frac{7\pi}{6}$이다.$\displaystyle a_5$는 구간 $\displaystyle \left(2\pi,\frac{8\pi}{3}\right]$에 있으면서 ②를 만족하는 값 $\displaystyle a_1+2\pi$와 ①을 만족하는 값 $\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi$ 중 작은 값인 $\displaystyle a_1+2\pi$이다. 위 과정을 반복하면 $\displaystyle a_5,a_6,a_7,a_8$은 각각 $\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4$에 각각 $\displaystyle 2\pi$씩 더한 값이고 이 규칙성은 $\displaystyle 4$개의 항마다 반복된다.따라서 $\displaystyle \{\sin a_n\mid n=1,2,3,\cdots\}=\left\{\sin a_1,\sin\left(a_1+\frac{\pi}{6}\right),\sin\left(a_1+\frac{\pi}{3}\right),\sin\left(a_1+\frac{7\pi}{6}\right)\right\}$이고, $\displaystyle \frac{\pi}{3}<a_1<\frac{\pi}{2}$일 때 이 집합의 원소의 개수는 일반적으로 $\displaystyle 4$이지만, $\displaystyle a_1=\frac{5\pi}{12}$일 때는 $\displaystyle \sin a_1=\sin\left(a_1+\frac{\pi}{6}\right)$이므로 원소의 개수가 $\displaystyle 3$이다.

$\displaystyle a_1=\frac{\pi}{2}$, $\displaystyle a_2=\frac{2\pi}{3}$인 경우에는 $\displaystyle a_3=a_2+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$이다.이 이후의 항은 다음과 같다.(i) $\displaystyle n=4m$ ($\displaystyle m$은 자연수) 꼴일 때 $\displaystyle a_n$은$\displaystyle \left\{\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}+2\pi,\frac{\pi}{3}+4\pi,\cdots\right\}\cup\left\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+2\pi,\frac{\pi}{2}+4\pi,\cdots\right\}\cup\{\pi,\pi+2\pi,\pi+4\pi,\cdots\}\cup\left\{\frac{5\pi}{3},\frac{5\pi}{3}+2\pi,\frac{5\pi}{3}+4\pi,\cdots\right\}$중 $\displaystyle n$번째의 값이며 이 값은 $\displaystyle \frac{5\pi}{3},\frac{5\pi}{3}+2\pi,\frac{5\pi}{3}+4\pi,\cdots$중 하나이다.(ii) $\displaystyle n=4m+1$ ($\displaystyle m$은 음이 아닌 정수) 꼴일 때 $\displaystyle a_n$은$\displaystyle \left\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+2\pi,\frac{\pi}{2}+4\pi,\cdots\right\}\cup\left\{\frac{7\pi}{6},\frac{7\pi}{6}+2\pi,\frac{7\pi}{6}+4\pi,\cdots\right\}\cup\left\{\frac{11\pi}{6},\frac{11\pi}{6}+2\pi,\frac{11\pi}{6}+4\pi,\cdots\right\}$중 $\displaystyle n$번째 값이며 이 값은 $\displaystyle \frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}+2\pi,\frac{11\pi}{6}+4\pi,\cdots$ 중 하나이다.(iii) $\displaystyle n=4m+2$ ($\displaystyle m$은 음이 아닌 정수) 꼴일 때 $\displaystyle a_n$은$\displaystyle \left\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+2\pi,\frac{\pi}{2}+4\pi,\cdots\right\}\cup\left\{\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}+2\pi,\frac{2\pi}{3}+4\pi,\cdots\right\}\cup\left\{\frac{4\pi}{3},\frac{4\pi}{3}+2\pi,\frac{4\pi}{3}+4\pi,\cdots\right\}\cup\{2\pi,4\pi,6\pi,\cdots\}$중 $\displaystyle n$번째의 값이며 이 값은 $\displaystyle \frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}+2\pi,\frac{2\pi}{3}+4\pi,\cdots$ 중 하나이다.(iv) $\displaystyle n=4m+3$ ($\displaystyle m$은 음이 아닌 정수) 꼴일 때 $\displaystyle a_n$은$\displaystyle \left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}+2\pi,\frac{\pi}{6}+4\pi,\cdots\right\}\cup\left\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+2\pi,\frac{\pi}{2}+4\pi,\cdots\right\}\cup\left\{\frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{6}+2\pi,\frac{5\pi}{6}+4\pi,\cdots\right\}\cup\left\{\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}+2\pi,\frac{3\pi}{2}+4\pi,\cdots\right\}$중 $\displaystyle n$번째의 값이며 이 값은 $\displaystyle \frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{6}+2\pi,\frac{5\pi}{6}+4\pi,\cdots$ 중 하나이다.이때 집합 $\displaystyle \{\sin a_n\mid n=1,2,3,\cdots\}=\left\{\sin\frac{5\pi}{3},\sin\frac{\pi}{2},\sin\frac{7\pi}{6},\sin\frac{11\pi}{6},\sin\frac{2\pi}{3},\sin\frac{5\pi}{6}\right\}=\left\{1,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$의 원소의 개수는 $\displaystyle 5$이다.따라서 이 집합의 원소의 개수가 될 수 있는 값은 $\displaystyle 3,4,5$이다.