공학계열 1-4번

(1) 교점의 개수: 1

(2) 곡선 $\displaystyle f(x)=(4t^4+3t^2+1)\ln(x-t)$가 곡선 $\displaystyle g(x)=3e^{2x-a}$과 오직 한점 $\displaystyle A$에서 만나고 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle A$에서의 접선과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle A$에서의 접선이 일치하므로 점 $\displaystyle A$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle k$라 하면$\displaystyle (4t^4+3t^2+1)\ln(k-t)=3e^{2k-a}$ — (ㄱ)$\displaystyle \frac{4t^4+3t^2+1}{k-t}=6e^{2k-a}$ — (ㄴ)

(ㄱ), (ㄴ)에서 $\displaystyle (4t^4+3t^2+1)\ln(k-t)=\frac{4t^4+3t^2+1}{2(k-t)}$이고 $\displaystyle t>0$이므로$\displaystyle \ln(k-t)=\frac{1}{2(k-t)}$

$\displaystyle \ln x=\frac{1}{2x}$의 해를 $\displaystyle \alpha$라 하면 $\displaystyle k-t=\alpha$를 만족한다.$\displaystyle k=t+\alpha$ — (ㄷ)(ㄷ)을 (ㄴ)에 대입하면$\displaystyle \frac{4t^4+3t^2+1}{\alpha}=6e^{2(t+\alpha)-a}$, $\displaystyle e^{2(t+\alpha)-a}=\frac{4t^4+3t^2+1}{6\alpha}$$\displaystyle 2(t+\alpha)-a=\ln\left(\frac{4t^4+3t^2+1}{6\alpha}\right)$따라서, $\displaystyle a=2(t+\alpha)-\ln\left(\frac{4t^4+3t^2+1}{6\alpha}\right)$

$\displaystyle h(t)=2(t+\alpha)-\ln\left(\frac{4t^4+3t^2+1}{6\alpha}\right)$$\displaystyle h^{\prime}(t)=2-\frac{\frac{16t^3+6t}{6\alpha}}{\frac{4t^4+3t^2+1}{6\alpha}}=2-\frac{16t^3+6t}{4t^4+3t^2+1}$$\displaystyle h^{\prime}(2)=2-\left(\frac{140}{77}\right)=\frac{14}{77}=\frac{2}{11}$