수리논술, 이게 다다.

공학계열 1-4번

오류 제보

묶음 시간 1번 전체 묶음: 45분

묶음 시간 2번 전체 묶음: 45분

한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 1-4번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_1_4

배점18점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 작성하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

가) 수렴하는 두 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}에 대하여 lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta일 때, 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\leq c_n\leq b_n이고 α=β\displaystyle \alpha=\beta이면 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}은 수렴하고 lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha이다.

나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)

다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이면lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx=∫abf(x)dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x=\int_a^b f(x)dx (단, Δx=b−an\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}, xk=a+kΔx\displaystyle x_k=a+k\Delta x)

[문제 1-4] 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수의 그래프의 개형을 이용하여 두 함수 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x와 y=12x\displaystyle y=\frac{1}{2x}의 그래프의 교점의 개수를 구하시오.

(2) 양의 실수 t\displaystyle t에 대하여 두 함수 f(x)=(4t4+3t2+1)ln⁡(x−t)\displaystyle f(x)=(4t^4+3t^2+1)\ln(x-t), g(x)=3e2x−a\displaystyle g(x)=3e^{2x-a}의 그래프가 오직 한 점 A\displaystyle A에서 만나고 점 A\displaystyle A에서 두 그래프에 동시에 접하는 접선이 존재하도록 하는 실수 a\displaystyle a의 값을 h(t)\displaystyle h(t)라 하자. h′(2)\displaystyle h^{\prime}(2)의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 1-4번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_1_4

+5점 · 두 함수의 그래프를 분석하여 교점의 개수를 올바르게 판별할 수 있다.

(1) 교점의 개수: 1

+3점 · 주어진 조건(두 함수가 동일한 점에서 동일한 접선을 가짐)을 이용해 방정식을 구할 수 있다.

(2) 곡선 f(x)=(4t4+3t2+1)ln⁡(x−t)\displaystyle f(x)=(4t^4+3t^2+1)\ln(x-t)가 곡선 g(x)=3e2x−a\displaystyle g(x)=3e^{2x-a}과 오직 한점 A\displaystyle A에서 만나고 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 A\displaystyle A에서의 접선과 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x) 위의 점 A\displaystyle A에서의 접선이 일치하므로 점 A\displaystyle A의 x\displaystyle x좌표를 k\displaystyle k라 하면(4t4+3t2+1)ln⁡(k−t)=3e2k−a\displaystyle (4t^4+3t^2+1)\ln(k-t)=3e^{2k-a} — (ㄱ)4t4+3t2+1k−t=6e2k−a\displaystyle \frac{4t^4+3t^2+1}{k-t}=6e^{2k-a} — (ㄴ)

+3점 · 로그의 성질을 이용하여 방정식을 적절히 변형하고, 조건을 충족하는 값을 구할 수 있다.

(ㄱ), (ㄴ)에서 (4t4+3t2+1)ln⁡(k−t)=4t4+3t2+12(k−t)\displaystyle (4t^4+3t^2+1)\ln(k-t)=\frac{4t^4+3t^2+1}{2(k-t)}이고 t>0\displaystyle t>0이므로ln⁡(k−t)=12(k−t)\displaystyle \ln(k-t)=\frac{1}{2(k-t)}

+4점 · 적절한 대입을 통해 변수 a\displaystyle a를 결정하고, 이를 올바르게 해석할 수 있다.

ln⁡x=12x\displaystyle \ln x=\frac{1}{2x}의 해를 α\displaystyle \alpha라 하면 k−t=α\displaystyle k-t=\alpha를 만족한다.k=t+α\displaystyle k=t+\alpha — (ㄷ)(ㄷ)을 (ㄴ)에 대입하면4t4+3t2+1α=6e2(t+α)−a\displaystyle \frac{4t^4+3t^2+1}{\alpha}=6e^{2(t+\alpha)-a}, e2(t+α)−a=4t4+3t2+16α\displaystyle e^{2(t+\alpha)-a}=\frac{4t^4+3t^2+1}{6\alpha}2(t+α)−a=ln⁡(4t4+3t2+16α)\displaystyle 2(t+\alpha)-a=\ln\left(\frac{4t^4+3t^2+1}{6\alpha}\right)따라서, a=2(t+α)−ln⁡(4t4+3t2+16α)\displaystyle a=2(t+\alpha)-\ln\left(\frac{4t^4+3t^2+1}{6\alpha}\right)

+3점 · 주어진 조건을 적용하여 h′(2)\displaystyle h^{\prime}(2)값을 정확히 구할 수 있다.

h(t)=2(t+α)−ln⁡(4t4+3t2+16α)\displaystyle h(t)=2(t+\alpha)-\ln\left(\frac{4t^4+3t^2+1}{6\alpha}\right)h′(t)=2−16t3+6t6α4t4+3t2+16α=2−16t3+6t4t4+3t2+1\displaystyle h^{\prime}(t)=2-\frac{\frac{16t^3+6t}{6\alpha}}{\frac{4t^4+3t^2+1}{6\alpha}}=2-\frac{16t^3+6t}{4t^4+3t^2+1}h′(2)=2−(14077)=1477=211\displaystyle h^{\prime}(2)=2-\left(\frac{140}{77}\right)=\frac{14}{77}=\frac{2}{11}

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.