이학계열 2-1번

묶음 시간 1번 전체 묶음: 45분

묶음 시간 2번 전체 묶음: 45분

한국항공대 2025학년도 수시 이학계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/ihak_2_1

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

가) 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 과 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 이다.

나) 사인함수 $\displaystyle y=\sin x$ 는 다음과 같은 성질을 갖는다.(1) 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역은 $\displaystyle \{y\mid-1\leq y\leq1\}$ 이다.(2) 주기가 $\displaystyle 2\pi$ 인 주기함수이다. 즉, $\displaystyle \sin(x+2n\pi)=\sin x$ (단, $\displaystyle n$ 은 정수)

다) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$ 라 하면 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_a^b=F(b)-F(a)$

라) 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 일 때, $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이고, 극댓값 $\displaystyle f(a)$ 를 갖는다.(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이고, 극솟값 $\displaystyle f(a)$ 를 갖는다.

[문제 2-1] 원 $\displaystyle (x-a)^2+(y-a^2)^2=b^2$ 이 두 직선 $\displaystyle y=-x+4$ 와 $\displaystyle y=x+2$ 에 동시에 접하도록 하는 두 실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 를 모두 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2025학년도 수시 이학계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/ihak_2_1

+4점 · 중심에서 두 직선까지의 거리를 활용하여

\displaystyle a

값을 구하면 (4점)

중심 $\displaystyle (a,a^2)$ 에서 두 직선까지의 거리가 같으므로 $\displaystyle d=\frac{|a+a^2-4|}{\sqrt2}=\frac{|a-a^2+2|}{\sqrt2}$ . 즉, $\displaystyle |a+a^2-4|=|a-a^2+2|$ 이다.ⅰ) $\displaystyle a+a^2-4=a-a^2+2$ 일 때, $\displaystyle a=\pm\sqrt3$ ⅱ) $\displaystyle a+a^2-4=-(a-a^2+2)$ 일 때, $\displaystyle a=1$ .

+6점 · 구한 값을 활용하여 반지름을 구하고, 순서쌍으로 표현하면 (6점)

$\displaystyle |b|=d$ 이므로, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 모두 구하면 $\displaystyle a=\sqrt3$ 일 때 $\displaystyle b=\pm\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}$ , $\displaystyle a=-\sqrt3$ 일 때 $\displaystyle b=\pm\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}$ , $\displaystyle a=1$ 일 때, $\displaystyle b=\pm\sqrt2$ 이다.따라서 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 는 $\displaystyle \left(\sqrt3,\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\right)$ , $\displaystyle \left(\sqrt3,-\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\right)$ , $\displaystyle \left(-\sqrt3,\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}\right)$ , $\displaystyle \left(-\sqrt3,-\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}\right)$ , $\displaystyle (1,\sqrt2)$ , $\displaystyle (1,-\sqrt2)$ 이다.

원의 중심, 즉 한 점에서 원에 접하는 직선까지의 거리를 활용하여 원의 중심과 반지름을 구할 수 있다.

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