이학계열 2-3번

$\displaystyle y=\sin(20\pi x)$는 주기가 $\displaystyle \frac{1}{10}$인 주기함수이다.

따라서 $\displaystyle y=\sin(20\pi x)$와 $\displaystyle y=\frac{n-1}{10}$의 교점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle (n+1)^2$이상이고 $\displaystyle 2(n+1)^2$이하인 교점의 개수는 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle 0$이상이고 $\displaystyle (n+1)^2$이하인 교점의 개수와 같다.이때 $\displaystyle y=\sin(20\pi x)$와 $\displaystyle y=\frac{n-1}{10}$이 만나는 점의 개수인 $\displaystyle a_n$를 구하면,ⅰ) $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle 20(n+1)^2+1=81$ⅱ) $\displaystyle n=2,\cdots,10$일 때, $\displaystyle 20(n+1)^2$ⅲ) $\displaystyle n=11$일 때, $\displaystyle 10(n+1)^2=1440$ⅳ) $\displaystyle 12\leq n\leq20$일 때, 0

그러므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{20}a_n=81+\sum_{n=2}^{10}\{20(n+1)^2\}+10\times12^2=11541$