수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

공학계열 2-1번

한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_2_1

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※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

가) 항등식의 뜻과 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수와 상수항을 정하는 방법을 미정계수법이라고 한다.

나) 삼각형 ABC\displaystyle ABC에 대하여 다음이 성립한다.BC‾sin⁡A=CA‾sin⁡B=AB‾sin⁡C\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{\overline{CA}}{\sin B}=\frac{\overline{AB}}{\sin C}

다) 삼각형 ABC\displaystyle ABC에 대하여 다음이 성립한다.AB‾2=BC‾2+CA‾2−2BC‾×CA‾×cos⁡C\displaystyle \overline{AB}^{2}=\overline{BC}^{2}+\overline{CA}^{2}-2\overline{BC}\times\overline{CA}\times\cos CBC‾2=CA‾2+AB‾2−2CA‾×AB‾×cos⁡A\displaystyle \overline{BC}^{2}=\overline{CA}^{2}+\overline{AB}^{2}-2\overline{CA}\times\overline{AB}\times\cos ACA‾2=AB‾2+BC‾2−2AB‾×BC‾×cos⁡B\displaystyle \overline{CA}^{2}=\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}-2\overline{AB}\times\overline{BC}\times\cos B

[문제 2-1] 최고차항의 계수가 a\displaystyle a (a≠0)\displaystyle (a\ne0)인 삼차식 f(x)\displaystyle f(x)와 세 실수 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta, γ\displaystyle \gamma가 다음을 만족한다.

f(x)−5x+6=a(x−2)(x−3)(x−α)\displaystyle f(x)-5x+6=a(x-2)(x-3)(x-\alpha)f(x)−6x+8=a(x−2)(x−4)(x−β)\displaystyle f(x)-6x+8=a(x-2)(x-4)(x-\beta)f(x)−7x+12=a(x−3)(x−4)(x−γ)\displaystyle f(x)-7x+12=a(x-3)(x-4)(x-\gamma)

α+β+γ=24\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=24일 때, f(0)\displaystyle f(0)의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_2_1

+3점 · f(2)=4\displaystyle f(2)=4, f(3)=9\displaystyle f(3)=9, f(4)=16\displaystyle f(4)=16을 구할 수 있다.

주어진 세 관계식으로부터 f(2)=4\displaystyle f(2)=4, f(3)=9\displaystyle f(3)=9, f(4)=16\displaystyle f(4)=16을 얻을 수 있다.

+3점 · α=4−1a\displaystyle \alpha=4-\frac{1}{a}을 구할 수 있다.

f(x)\displaystyle f(x)가 최고차항의 계수가 a\displaystyle a인 삼차식이므로 f(x)=a(x−2)(x−3)(x−4)+x2\displaystyle f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+x^2또는 f(x)=ax3+(1−9a)x2+26ax−24a\displaystyle f(x)=ax^3+(1-9a)x^2+26ax-24af(x)−5x+6=a(x−2)(x−3)(x−α)\displaystyle f(x)-5x+6=a(x-2)(x-3)(x-\alpha)에 x=4\displaystyle x=4를 대입하면 α=4−1a\displaystyle \alpha=4-\frac{1}{a}

+3점 · β=3−1a\displaystyle \beta=3-\frac{1}{a}을 구할 수 있다.

f(x)−6x+8=a(x−2)(x−4)(x−β)\displaystyle f(x)-6x+8=a(x-2)(x-4)(x-\beta)에 x=3\displaystyle x=3을 대입하면 β=3−1a\displaystyle \beta=3-\frac{1}{a}

+3점 · γ=2−1a\displaystyle \gamma=2-\frac{1}{a}을 구할 수 있다.

f(x)−7x+12=a(x−3)(x−4)(x−γ)\displaystyle f(x)-7x+12=a(x-3)(x-4)(x-\gamma)에 x=2\displaystyle x=2를 대입하면 γ=2−1a\displaystyle \gamma=2-\frac{1}{a}

+5점 · a=−15\displaystyle a=-\frac{1}{5}을 구할 수 있다.

α+β+γ=24=4−1a+3−1a+2−1a\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=24=4-\frac{1}{a}+3-\frac{1}{a}+2-\frac{1}{a}이므로 a=−15\displaystyle a=-\frac{1}{5}

+4점 · f(0)=245\displaystyle f(0)=\frac{24}{5}을 구할 수 있다.

따라서, f(x)=−15(x−2)(x−3)(x−4)+x2=−15x3+145x2−265x+245\displaystyle f(x)=-\frac{1}{5}(x-2)(x-3)(x-4)+x^2=-\frac{1}{5}x^3+\frac{14}{5}x^2-\frac{26}{5}x+\frac{24}{5}f(0)=−15(−2)(−3)(−4)+02=245\displaystyle f(0)=-\frac{1}{5}(-2)(-3)(-4)+0^2=\frac{24}{5}

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