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공학계열 2-2번

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한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_2_2

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※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오.(답만 기재하면 0점 처리)

가) 항등식의 뜻과 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수와 상수항을 정하는 방법을 미정계수법이라고 한다.

나) 삼각형 ABC\displaystyle ABC에 대하여 다음이 성립한다.BC‾sin⁡A=CA‾sin⁡B=AB‾sin⁡C\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{\overline{CA}}{\sin B}=\frac{\overline{AB}}{\sin C}

다) 삼각형 ABC\displaystyle ABC에 대하여 다음이 성립한다.AB‾2=BC‾2+CA‾2−2BC‾×CA‾×cos⁡C\displaystyle \overline{AB}^{2}=\overline{BC}^{2}+\overline{CA}^{2}-2\overline{BC}\times\overline{CA}\times\cos CBC‾2=CA‾2+AB‾2−2CA‾×AB‾×cos⁡A\displaystyle \overline{BC}^{2}=\overline{CA}^{2}+\overline{AB}^{2}-2\overline{CA}\times\overline{AB}\times\cos ACA‾2=AB‾2+BC‾2−2AB‾×BC‾×cos⁡B\displaystyle \overline{CA}^{2}=\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}-2\overline{AB}\times\overline{BC}\times\cos B

[문제 2-2] 그림과 같이 삼각형 ABC\displaystyle ABC에 중심이 R\displaystyle R인 원 O\displaystyle O가 세 점 X\displaystyle X, W\displaystyle W, Z\displaystyle Z에서 접한다. 선분 AX\displaystyle AX가 원 O\displaystyle O와 만나는 점 중 X\displaystyle X가 아닌 점을 Y\displaystyle Y라 하고 점 Y\displaystyle Y에서의 접선이 두 선분 AB\displaystyle AB, AC\displaystyle AC와 만나는 점을 각각 P\displaystyle P, Q\displaystyle Q라 하자. AP‾=3\displaystyle \overline{AP}=3, PB‾=3\displaystyle \overline{PB}=3, AC‾=5\displaystyle \overline{AC}=5일 때, 다음 물음에 답하시오.

삼각형 ABC의 내접원과 접점 X, W, Z 및 접선 PQ

(1) ∠PYX=∠YXB\displaystyle \angle PYX=\angle YXB임을 보이시오.

(2) 제시문 나)를 이용하여 ZP‾=1\displaystyle \overline{ZP}=1임을 보이시오.

(3) 제시문 다)를 이용하여 WQ‾\displaystyle \overline{WQ}의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_2_2

+3점 · ∠PYX=∠YXB\displaystyle \angle PYX=\angle YXB 임을 보일 수 있다.

(1) ∠PYX=∠YXB\displaystyle \angle PYX=\angle YXB임을 보이시오.∠RYP=∠RXB=90∘\displaystyle \angle RYP=\angle RXB=90^\circ이고 ∠RYX=∠RXY\displaystyle \angle RYX=\angle RXY이므로 ∠PYX=∠YXB\displaystyle \angle PYX=\angle YXB

+1.5점 · PA‾PY‾=sin⁡∠PYAsin⁡∠PAY\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PY}}=\frac{\sin\angle PYA}{\sin\angle PAY}임을 구할 수 있다.

(2) 제시문 나)를 이용하여 ZP‾=1\displaystyle \overline{ZP}=1임을 보이시오.ZP‾=PY‾=x\displaystyle \overline{ZP}=\overline{PY}=x라 하자.삼각형 APY\displaystyle APY에서 사인법칙을 이용하면,sin⁡∠PAYPY‾=sin⁡∠PYAPA‾\displaystyle \frac{\sin\angle PAY}{\overline{PY}}=\frac{\sin\angle PYA}{\overline{PA}}이므로 PA‾PY‾=sin⁡∠PYAsin⁡∠PAY\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PY}}=\frac{\sin\angle PYA}{\sin\angle PAY}

+1.5점 · AB‾BX‾=sin⁡∠AXBsin⁡∠BAX\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{BX}}=\frac{\sin\angle AXB}{\sin\angle BAX}임을 구할 수 있다.

삼각형 AXB\displaystyle AXB에서 사인법칙을 이용하면,sin⁡∠BAXBX‾=sin⁡∠AXBAB‾\displaystyle \frac{\sin\angle BAX}{\overline{BX}}=\frac{\sin\angle AXB}{\overline{AB}}이므로 AB‾BX‾=sin⁡∠AXBsin⁡∠BAX\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{BX}}=\frac{\sin\angle AXB}{\sin\angle BAX}

+3점 · sin⁡∠PYA=sin⁡(π−∠PYX)=sin⁡∠PYX=sin⁡∠YXB=sin⁡∠AXB\displaystyle \begin{aligned}\sin\angle PYA&=\sin(\pi-\angle PYX)\\&=\sin\angle PYX\\&=\sin\angle YXB\\&=\sin\angle AXB\end{aligned}의 관계식을 구할 수 있다.

∠PAY=∠BAX\displaystyle \angle PAY=\angle BAX이고,sin⁡∠PYA=sin⁡(π−∠PYX)=sin⁡∠PYX=sin⁡∠YXB=sin⁡∠AXB\displaystyle \sin\angle PYA=\sin(\pi-\angle PYX)=\sin\angle PYX=\sin\angle YXB=\sin\angle AXB 이므로,

+4점 · ZP‾=PY‾=1\displaystyle \overline{ZP}=\overline{PY}=1의 값을 구할 수 있다.

3x=PA‾PY‾=sin⁡∠PYAsin⁡∠PAY=sin⁡∠AXBsin⁡∠BAX=AB‾BX‾=63−x\displaystyle \frac{3}{x}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PY}}=\frac{\sin\angle PYA}{\sin\angle PAY}=\frac{\sin\angle AXB}{\sin\angle BAX}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BX}}=\frac{6}{3-x}3x=PA‾PY‾=AB‾BX‾=63−x\displaystyle \frac{3}{x}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PY}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BX}}=\frac{6}{3-x}따라서, x=ZP‾=PY‾=1\displaystyle x=\overline{ZP}=\overline{PY}=1

+3점 · BC‾=2+1=3\displaystyle \overline{BC}=2+1=3의 값을 구할 수 있다.

(3) 제시문 다)를 이용하여 WQ‾\displaystyle \overline{WQ}의 값을 구하시오.ZB‾=3−x=2=BX‾\displaystyle \overline{ZB}=3-x=2=\overline{BX}AZ‾=x+3=4=AW‾\displaystyle \overline{AZ}=x+3=4=\overline{AW}WC‾=5−AW‾=1=XC‾\displaystyle \overline{WC}=5-\overline{AW}=1=\overline{XC}따라서, BC‾=2+1=3\displaystyle \overline{BC}=2+1=3

+2점 · WQ‾=YQ‾=y\displaystyle \overline{WQ}=\overline{YQ}=y라 할 때, PQ‾=1+y\displaystyle \overline{PQ}=1+y, AQ‾=4−y\displaystyle \overline{AQ}=4-y의 관계식을 구할 수 있다.

WQ‾=YQ‾=y\displaystyle \overline{WQ}=\overline{YQ}=y라 할 때,PQ‾=1+y\displaystyle \overline{PQ}=1+y, AQ‾=4−y\displaystyle \overline{AQ}=4-y

+3점 · cos⁡∠BAC=AB‾2+AC‾2−BC‾22AB‾⋅AC‾=62+52−322⋅6⋅5=1315\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{\overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}-\overline{BC}^{2}}{2\overline{AB}\cdot\overline{AC}}=\frac{6^2+5^2-3^2}{2\cdot6\cdot5}=\frac{13}{15}의 구할 수 있다.

삼각형 BAC\displaystyle BAC에서 코사인법칙을 이용하면,cos⁡∠BAC=AB‾2+AC‾2−BC‾22AB‾ AC‾=62+52−322×6×5=1315\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{\overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}-\overline{BC}^{2}}{2\overline{AB}\,\overline{AC}}=\frac{6^2+5^2-3^2}{2\times6\times5}=\frac{13}{15}

+3점 · cos⁡∠PAQ=AP‾2+AQ‾2−PQ‾22AP‾⋅AQ‾=32+(4−y)2−(1+y)22⋅3⋅(4−y)=12−5y12−3y\displaystyle \cos\angle PAQ=\frac{\overline{AP}^{2}+\overline{AQ}^{2}-\overline{PQ}^{2}}{2\overline{AP}\cdot\overline{AQ}}=\frac{3^2+(4-y)^2-(1+y)^2}{2\cdot3\cdot(4-y)}=\frac{12-5y}{12-3y}의 구할 수 있다.

삼각형 PAQ\displaystyle PAQ에서 코사인법칙을 이용하면,cos⁡∠PAQ=AP‾2+AQ‾2−PQ‾22AP‾ AQ‾=32+(4−y)2−(1+y)22×3×(4−y)=12−5y12−3y\displaystyle \cos\angle PAQ=\frac{\overline{AP}^{2}+\overline{AQ}^{2}-\overline{PQ}^{2}}{2\overline{AP}\,\overline{AQ}}=\frac{3^2+(4-y)^2-(1+y)^2}{2\times3\times(4-y)}=\frac{12-5y}{12-3y}

+5점 · y=WQ‾=23\displaystyle y=\overline{WQ}=\frac{2}{3}의 값을 구할 수 있다.

cos⁡∠BAC=cos⁡∠PAQ\displaystyle \cos\angle BAC=\cos\angle PAQ이므로,1315=12−5y12−3y\displaystyle \frac{13}{15}=\frac{12-5y}{12-3y}y=WQ‾=23\displaystyle y=\overline{WQ}=\frac{2}{3}

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