수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

공학계열 2-2번

한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_2_2

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한국항공대 2025학년도 수시 공학계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/kau/2025su/gonghak_2_2

+3점 · ∠PYX=∠YXB\displaystyle \angle PYX=\angle YXB 임을 보일 수 있다.

(1) ∠PYX=∠YXB\displaystyle \angle PYX=\angle YXB임을 보이시오.∠RYP=∠RXB=90∘\displaystyle \angle RYP=\angle RXB=90^\circ이고 ∠RYX=∠RXY\displaystyle \angle RYX=\angle RXY이므로 ∠PYX=∠YXB\displaystyle \angle PYX=\angle YXB

+1.5점 · PA‾PY‾=sin⁡∠PYAsin⁡∠PAY\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PY}}=\frac{\sin\angle PYA}{\sin\angle PAY}임을 구할 수 있다.

(2) 제시문 나)를 이용하여 ZP‾=1\displaystyle \overline{ZP}=1임을 보이시오.ZP‾=PY‾=x\displaystyle \overline{ZP}=\overline{PY}=x라 하자.삼각형 APY\displaystyle APY에서 사인법칙을 이용하면,sin⁡∠PAYPY‾=sin⁡∠PYAPA‾\displaystyle \frac{\sin\angle PAY}{\overline{PY}}=\frac{\sin\angle PYA}{\overline{PA}}이므로 PA‾PY‾=sin⁡∠PYAsin⁡∠PAY\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PY}}=\frac{\sin\angle PYA}{\sin\angle PAY}

+1.5점 · AB‾BX‾=sin⁡∠AXBsin⁡∠BAX\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{BX}}=\frac{\sin\angle AXB}{\sin\angle BAX}임을 구할 수 있다.

삼각형 AXB\displaystyle AXB에서 사인법칙을 이용하면,sin⁡∠BAXBX‾=sin⁡∠AXBAB‾\displaystyle \frac{\sin\angle BAX}{\overline{BX}}=\frac{\sin\angle AXB}{\overline{AB}}이므로 AB‾BX‾=sin⁡∠AXBsin⁡∠BAX\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{BX}}=\frac{\sin\angle AXB}{\sin\angle BAX}

+3점 · sin⁡∠PYA=sin⁡(π−∠PYX)=sin⁡∠PYX=sin⁡∠YXB=sin⁡∠AXB\displaystyle \begin{aligned}\sin\angle PYA&=\sin(\pi-\angle PYX)\\&=\sin\angle PYX\\&=\sin\angle YXB\\&=\sin\angle AXB\end{aligned}의 관계식을 구할 수 있다.

∠PAY=∠BAX\displaystyle \angle PAY=\angle BAX이고,sin⁡∠PYA=sin⁡(π−∠PYX)=sin⁡∠PYX=sin⁡∠YXB=sin⁡∠AXB\displaystyle \sin\angle PYA=\sin(\pi-\angle PYX)=\sin\angle PYX=\sin\angle YXB=\sin\angle AXB 이므로,

+4점 · ZP‾=PY‾=1\displaystyle \overline{ZP}=\overline{PY}=1의 값을 구할 수 있다.

3x=PA‾PY‾=sin⁡∠PYAsin⁡∠PAY=sin⁡∠AXBsin⁡∠BAX=AB‾BX‾=63−x\displaystyle \frac{3}{x}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PY}}=\frac{\sin\angle PYA}{\sin\angle PAY}=\frac{\sin\angle AXB}{\sin\angle BAX}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BX}}=\frac{6}{3-x}3x=PA‾PY‾=AB‾BX‾=63−x\displaystyle \frac{3}{x}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PY}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BX}}=\frac{6}{3-x}따라서, x=ZP‾=PY‾=1\displaystyle x=\overline{ZP}=\overline{PY}=1

+3점 · BC‾=2+1=3\displaystyle \overline{BC}=2+1=3의 값을 구할 수 있다.

(3) 제시문 다)를 이용하여 WQ‾\displaystyle \overline{WQ}의 값을 구하시오.ZB‾=3−x=2=BX‾\displaystyle \overline{ZB}=3-x=2=\overline{BX}AZ‾=x+3=4=AW‾\displaystyle \overline{AZ}=x+3=4=\overline{AW}WC‾=5−AW‾=1=XC‾\displaystyle \overline{WC}=5-\overline{AW}=1=\overline{XC}따라서, BC‾=2+1=3\displaystyle \overline{BC}=2+1=3

+2점 · WQ‾=YQ‾=y\displaystyle \overline{WQ}=\overline{YQ}=y라 할 때, PQ‾=1+y\displaystyle \overline{PQ}=1+y, AQ‾=4−y\displaystyle \overline{AQ}=4-y의 관계식을 구할 수 있다.

WQ‾=YQ‾=y\displaystyle \overline{WQ}=\overline{YQ}=y라 할 때,PQ‾=1+y\displaystyle \overline{PQ}=1+y, AQ‾=4−y\displaystyle \overline{AQ}=4-y

+3점 · cos⁡∠BAC=AB‾2+AC‾2−BC‾22AB‾⋅AC‾=62+52−322⋅6⋅5=1315\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{\overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}-\overline{BC}^{2}}{2\overline{AB}\cdot\overline{AC}}=\frac{6^2+5^2-3^2}{2\cdot6\cdot5}=\frac{13}{15}의 구할 수 있다.

삼각형 BAC\displaystyle BAC에서 코사인법칙을 이용하면,cos⁡∠BAC=AB‾2+AC‾2−BC‾22AB‾ AC‾=62+52−322×6×5=1315\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{\overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}-\overline{BC}^{2}}{2\overline{AB}\,\overline{AC}}=\frac{6^2+5^2-3^2}{2\times6\times5}=\frac{13}{15}

+3점 · cos⁡∠PAQ=AP‾2+AQ‾2−PQ‾22AP‾⋅AQ‾=32+(4−y)2−(1+y)22⋅3⋅(4−y)=12−5y12−3y\displaystyle \cos\angle PAQ=\frac{\overline{AP}^{2}+\overline{AQ}^{2}-\overline{PQ}^{2}}{2\overline{AP}\cdot\overline{AQ}}=\frac{3^2+(4-y)^2-(1+y)^2}{2\cdot3\cdot(4-y)}=\frac{12-5y}{12-3y}의 구할 수 있다.

삼각형 PAQ\displaystyle PAQ에서 코사인법칙을 이용하면,cos⁡∠PAQ=AP‾2+AQ‾2−PQ‾22AP‾ AQ‾=32+(4−y)2−(1+y)22×3×(4−y)=12−5y12−3y\displaystyle \cos\angle PAQ=\frac{\overline{AP}^{2}+\overline{AQ}^{2}-\overline{PQ}^{2}}{2\overline{AP}\,\overline{AQ}}=\frac{3^2+(4-y)^2-(1+y)^2}{2\times3\times(4-y)}=\frac{12-5y}{12-3y}

+5점 · y=WQ‾=23\displaystyle y=\overline{WQ}=\frac{2}{3}의 값을 구할 수 있다.

cos⁡∠BAC=cos⁡∠PAQ\displaystyle \cos\angle BAC=\cos\angle PAQ이므로,1315=12−5y12−3y\displaystyle \frac{13}{15}=\frac{12-5y}{12-3y}y=WQ‾=23\displaystyle y=\overline{WQ}=\frac{2}{3}

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