자연계열 1번

(1) 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점 $\displaystyle (a,a^2)$에서 접하는 접선의 기울기는 $\displaystyle 2a$이다.점 $\displaystyle \mathrm A(t,t^2)$에서 곡선 $\displaystyle y=x^2$에 접하는 접선의 방정식은 $\displaystyle l_1:y=2tx-t^2$이다.접선 $\displaystyle l_1$과 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle -\frac1{2t}$이고,접선의 기울기가 $\displaystyle -\frac1{2t}$가 되는 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점은 $\displaystyle \mathrm B\left(-\frac1{4t},\frac1{16t^2}\right)$이다.따라서 접선 $\displaystyle l_2$의 방정식은 $\displaystyle l_2:y=-\frac1{2t}x-\frac1{16t^2}$이다.접선 $\displaystyle l_1$과 접선 $\displaystyle l_2$의 교점은 $\displaystyle \mathrm C\left(\frac t2-\frac1{8t},-\frac14\right)$이고,점 $\displaystyle \mathrm C(x,y)$의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치는 $\displaystyle x(t)=\frac t2-\frac1{8t},\ y(t)=-\frac14$이다.

시각 $\displaystyle t=1$에서 $\displaystyle t=2$까지 점 C가 움직인 거리 $\displaystyle s$는$\displaystyle s=\int_1^2\sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2}\,dt=\int_1^2\left(\frac12+\frac1{8t^2}\right)dt=\frac9{16}$이다.

(2) 삼각형 AOP의 넓이는 $\displaystyle \frac12t^3$이다.삼각형 ABC의 넓이를 구하기 위해 선분 AC와 선분 BC의 길이를 알아야 한다.점 B와 점 C의 좌표는 $\displaystyle \mathrm B\left(-\frac1{4t},\frac1{16t^2}\right),\ \mathrm C\left(\frac t2-\frac1{8t},-\frac14\right)$이므로,선분 AC의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{t^4+\frac34t^2+\frac3{16}+\frac1{64t^2}}$이고,선분 BC의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{\frac{t^2}4+\frac3{16}+\frac3{64t^2}+\frac1{256t^4}}$이다.따라서 삼각형 ABC의 넓이는 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}=\frac12\sqrt{t^4+\frac34t^2+\frac3{16}+\frac1{64t^2}}\sqrt{\frac{t^2}4+\frac3{16}+\frac3{64t^2}+\frac1{256t^4}}$이다.넓이의 비는$\displaystyle S(t)=\frac{\frac12\sqrt{t^4+\frac34t^2+\frac3{16}+\frac1{64t^2}}\sqrt{\frac{t^2}4+\frac3{16}+\frac3{64t^2}+\frac1{256t^4}}}{\frac12t^2\times t}=\sqrt{1+\frac3{4t^2}+\frac3{16t^4}+\frac1{64t^6}}\sqrt{\frac14+\frac3{16t^2}+\frac3{64t^4}+\frac1{256t^6}}$이다.

이때 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac1t=0$이므로 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac1{t^2}=\lim_{t\to\infty}\frac1{t^4}=\lim_{t\to\infty}\frac1{t^6}=0$이고,따라서 넓이의 비의 극한은 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}S(t)=\frac12$이다.