자연계열 2번

(1) 먼저 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 함수 $\displaystyle y=x+\frac1x$의 증가와 감소의 표는 함수의 미분 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}$을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)=x^2+\frac1{x^2}-x-\frac1x-k$라고 두면두 그래프 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle h(x)=0$의 실근이다.$\displaystyle t=x+\frac1x$이라고 두면 $\displaystyle t\ge2$이고 $\displaystyle t^2-t-2-k=0$이다.$\displaystyle k$가 양수일 때, $\displaystyle t^2-t-2-k=0$은 2보다 큰 실근 $\displaystyle \frac{1+\sqrt{4k+9}}2$을 한 개만 가진다.이 실근을 $\displaystyle t_0=\frac{1+\sqrt{4k+9}}2$라고 두면 $\displaystyle t=x+\frac1x$이므로 $\displaystyle h(x)=0$의 실근 $\displaystyle x$는 $\displaystyle x+\frac1x=t_0$의 실근이다.

$\displaystyle x+\frac1x=t_0$의 실근은 두 그래프 $\displaystyle y=x+\frac1x$와 $\displaystyle y=t_0$의 교점의 $\displaystyle x$좌표이다.함수 $\displaystyle y=x+\frac1x$의 증가와 감소의 표를 이용하면, 이 함수의 그래프의 개형으로부터$\displaystyle t_0>2$일 때 $\displaystyle y=x+\frac1x$과 $\displaystyle y=t_0$는 $\displaystyle x>0$ 구간에서 서로 다른 2개의 점에서 만난다.따라서 $\displaystyle h(x)=0$은 서로 다른 두 개의 실근을 가지고,두 함수의 그래프 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$는 서로 다른 2개의 점에서 만난다.

(2) $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle x+\frac1x=t_0$ 즉 $\displaystyle x^2-t_0x+1=0$의 두 근이므로 $\displaystyle \alpha+\beta=t_0$이고 $\displaystyle \alpha\beta=1$이다.

$\displaystyle t_0=\frac{1+\sqrt{4k+9}}2$를 대입하여 계산하면$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=k-\frac32+\frac12\sqrt{4k+9}$이다.

이를 이용하면 $\displaystyle S(x)=x-\frac32+\frac12\sqrt{4x+9}$이므로, 입체의 부피는 다음과 같다.$\displaystyle \int_4^{10}6S(x)\,dx=\int_4^{10}6\left(x-\frac32+\frac12\sqrt{4x+9}\right)dx=\Biggl[3x^2-9x+\frac12(4x+9)^{\frac32}\Biggr]_4^{10}=307$