자연계열 3번

[논제 Ⅲ](1) 6번 조끼를 입은 학생이 상품을 받은 사건을 $\displaystyle C$, 3번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못하였을 사건을 $\displaystyle D$라 하자. 6번 조끼를 입은 학생이 상품을 받는 경우는, 상품을 받지 못한 학생의 수가 $\displaystyle 0,1,2,3,4,5$명 일 때이다. 3번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못하는 경우는, 상품을 받지 못한 학생의 수가 $\displaystyle 3,4,5,6,7$명 일 때이다.따라서, 사건 $\displaystyle C$의 확률은 두 개의 출구 중 하나의 출구를 선택하는 시행에서 이를 7회 반복할 때, 운동장으로 나오는 출구를 $\displaystyle 0,1,2,3,4,5$개 선택하는 경우의 확률과 같다. 사건 $\displaystyle C\cap D$의 확률은 두 개의 출구 중 하나의 출구를 선택하는 시행에서 이를 7회 반복할 때, 운동장으로 나오는 출구를 $\displaystyle 3,4,5$개 선택하는 경우의 확률과 같다.제시문 [바]에 의하여 $\displaystyle p=\frac12$이므로 사건 $\displaystyle C$의 확률은$\displaystyle {}_{7}\mathrm C_0\times\left(\frac12\right)^7+{}_{7}\mathrm C_1\times\left(\frac12\right)^7+{}_{7}\mathrm C_2\times\left(\frac12\right)^7+{}_{7}\mathrm C_3\times\left(\frac12\right)^7+{}_{7}\mathrm C_4\times\left(\frac12\right)^7+{}_{7}\mathrm C_5\times\left(\frac12\right)^7=\frac{120}{128}$이고, $\displaystyle C\cap D$의 확률은$\displaystyle {}_{7}\mathrm C_3\times\left(\frac12\right)^7+{}_{7}\mathrm C_4\times\left(\frac12\right)^7+{}_{7}\mathrm C_5\times\left(\frac12\right)^7=\frac{91}{128}$

따라서, 6번 조끼를 입은 학생이 상품을 받을 때, 3번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못하였을 확률을 조건부 확률의 정의를 이용하여 계산하면 $\displaystyle \frac{91}{120}$이다.

(2) 400명의 학생이 게임에 참가할 때, 상품을 받지 못한 학생 수를 확률변수 $\displaystyle X_A$라고 하면 $\displaystyle X_A$는 운동장으로 나가는 출구를 선택한 횟수와 같다. 따라서, $\displaystyle X_A$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B\left(400,\frac12\right)$을 따르므로 평균 $\displaystyle m_A$와 표준편차 $\displaystyle \sigma_A$는$\displaystyle m_A=400\times\frac12=200,\ \sigma_A=\sqrt{400\times\frac12\times\frac12}=10$이때 학생의 수 400과 평균 200이 충분히 크므로 $\displaystyle X_A$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(200,10^2)$을 따른다.Comment. 시행 횟수가 많으므로 이항분포를 정규분포로 근사하여 계산하며, 이 풀이에서 $\displaystyle k$의 최댓값은 $\displaystyle 31$이다. 이항분포의 확률을 직접 계산하면 $\displaystyle 32$가 나오는데, 이는 정규근사에 따른 차이이다.확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X_A-200}{10}$은 표준정규분포를 따르므로, 표준정규분포를 이용하여 $\displaystyle \mathrm P(A)$를 구한다.$\displaystyle \mathrm P(A)=\mathrm P(X_A\le210)=\mathrm P\left(Z\le\frac{210-200}{10}\right)=\mathrm P(Z\le1)\quad\cdots\ ①$72명의 학생이 게임에 참가할 때, 상품을 받지 못한 학생 수를 확률변수 $\displaystyle X_B$라고 하면 $\displaystyle X_B$는 운동장으로 나가는 출구를 선택한 횟수와 같다. 따라서, $\displaystyle X_B$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B\left(72,\frac12\right)$을 따르므로 평균 $\displaystyle m_B$와 표준편차 $\displaystyle \sigma_B$는$\displaystyle m_B=72\times\frac12=36,\ \sigma_A=\sqrt{72\times\frac12\times\frac12}=\sqrt{18}$Correction. $\displaystyle \sigma_A$는 $\displaystyle \sigma_B$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이때 학생의 수 72와 평균 36이 충분히 크므로 $\displaystyle X_B$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(36,18)$을 따른다.확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X_B-36}{\sqrt{18}}$은 표준정규분포를 따르므로, 표준정규분포를 이용하여 $\displaystyle \mathrm P(B)$를 구한다.$\displaystyle \mathrm P(B)=\mathrm P(X_B\le72-k)=\mathrm P\left(Z\le\frac{36-k}{\sqrt{18}}\right)\quad\cdots\ ②$

①과 ②의 계산값에서 $\displaystyle 1\le\frac{36-k}{\sqrt{18}}$일 때만 $\displaystyle \mathrm P(Z\le1)\le\mathrm P\left(Z\le\frac{36-k}{\sqrt{18}}\right)$이다.따라서 $\displaystyle \mathrm P(A)\le\mathrm P(B)$를 만족하는 가장 큰 자연수 $\displaystyle k$는 31이다.