자연계열 (오후) 1번

[논제 Ⅰ](1) 접점 P의 좌표를 $\displaystyle (x_1,y_1)$이라고 한다면, 점 P에서의 접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$이다.

이 직선이 $\displaystyle \mathrm A(k,0)$을 지나므로, $\displaystyle x_1=\frac{a^2}k$이다. 또한, P가 타원 위의 점이므로, $\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$이다. 한편, $\displaystyle y_1$은 양수이므로, $\displaystyle y_1=\sqrt{b^2-\frac{a^2b^2}{k^2}}=b\sqrt{1-\frac{a^2}{k^2}}$이다. 따라서 접점 P의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{a^2}k,b\sqrt{1-\frac{a^2}{k^2}}\right)$이다.

(2) $\displaystyle a=5,\ b=4,\ k=13$일 때, $\displaystyle x_1=\frac{25}{13},\ y_1=\frac{48}{13}$이다. 따라서 접선 $\displaystyle l$의 기울기는 $\displaystyle -\frac{b^2x_1}{a^2y_1}=-\frac13$이다.그러므로 직선 $\displaystyle l^{\prime}$은 기울기가 3이며 점 $\displaystyle \mathrm P\left(\frac{25}{13},\frac{48}{13}\right)$을 지나는 직선이고, 이 직선의 방정식은 $\displaystyle y=3x-\frac{27}{13}$이다. 따라서 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac9{13},0\right)$이다.

한편, 두 초점 $\displaystyle \mathrm F_1,\mathrm F_2$의 좌표를 각각 $\displaystyle (-c,0),\ (c,0)$이라 하면, (단 $\displaystyle c>0$) $\displaystyle c=\sqrt{5^2-4^2}=3$이므로, $\displaystyle \mathrm F_1(-3,0),\ \mathrm F_2(3,0)$이다. 그러므로 각 선분의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}_1}=\sqrt{\frac{64^2+48^2}{13^2}}=\frac{80}{13},\ \overline{\mathrm{PF}_2}=\sqrt{\frac{14^2+48^2}{13^2}}=\frac{50}{13},\ \overline{\mathrm{QF}_1}=\frac9{13}+3=\frac{48}{13},\ \overline{\mathrm{QF}_2}=3-\frac9{13}=\frac{30}{13}$이다.따라서 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PF}_1}}{\overline{\mathrm{QF}_1}}+\frac{\overline{\mathrm{PF}_2}}{\overline{\mathrm{QF}_2}}=\frac{\frac{80}{13}}{\frac{48}{13}}+\frac{\frac{50}{13}}{\frac{30}{13}}=\frac53+\frac53=\frac{10}3$이다.