자연계열 I 1번

【1-1】 (20점)○ 모범답안: 각 자리의 숫자의 합이 6인 여섯 자리 자연수 중에서(ⅰ) 0을 한 개도 사용하지 않고 만든 숫자는 111111의 한 가지뿐이다.(ⅱ) 0을 한 개 사용하여 만든 숫자는 0, 1, 1, 1, 1, 2로 이루어져 있으므로(1) 첫째자리에 1이 오는 경우는 나머지 숫자 0, 1, 1, 1, 2를 배열하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{5!}{3!}=20$(2) 첫째자리에 2가 오는 경우는 나머지 숫자 0, 1, 1, 1, 1을 배열하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{5!}{4!}=5$(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 자연수의 개수는 $\displaystyle 1+20+5=26$개다.

【1-2】 (30점)○ 모범답안: 조건 (a)로부터 $\displaystyle \mathrm E(X)=\frac{25+33}2=29$이고조건 (b)로부터 $\displaystyle \mathrm P(X\le23)=\mathrm P\left(\frac{X-29}\sigma\le\frac{23-29}\sigma\right)=0.0668$이므로 $\displaystyle \frac{23-29}\sigma=-1.5$이다.따라서 $\displaystyle m=29$이고 $\displaystyle \sigma=4$이고 확률변수 $\displaystyle X$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(29,4^2)$을 따르므로$\displaystyle \mathrm P(X\le37)=\mathrm P\left(Z\le\frac{37-29}4\right)=\mathrm P(Z\le2)=0.9772$이다.

【1-3】(1) (25점)○ 모범답안: A, B, C 주사위 각각에 대하여선택된 주사위가 A인 경우 빨간색(R), 노란색(Y), 노란색(Y)가 나올 확률은$\displaystyle \mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm A)=\mathrm P(\mathrm{RYY}|\mathrm A)\mathrm P(\mathrm A)=\left(\frac36\times\frac36\times\frac36\right)\times\frac13$이다.선택된 주사위가 B인 경우 빨간색(R), 노란색(Y), 노란색(Y)가 나올 확률은$\displaystyle \mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm B)=\mathrm P(\mathrm{RYY}|\mathrm B)\mathrm P(\mathrm B)=\left(\frac46\times\frac26\times\frac26\right)\times\frac13$이다.선택된 주사위가 C인 경우 빨간색(R), 노란색(Y), 노란색(Y)가 나올 확률은$\displaystyle \mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm C)=\mathrm P(\mathrm{RYY}|\mathrm C)\mathrm P(\mathrm C)=\left(\frac56\times\frac16\times\frac16\right)\times\frac13$이다.주사위 A, B, C가 선택되는 사건은 서로 배반사건이므로, 주사위 A, B, C 중 임의의 주사위를 한 개 선택하여 그 주사위를 3회 던져 빨간색, 노란색, 노란색이 나올 확률은$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(\mathrm{RYY})&=\mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm A)+\mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm B)+\mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm C)\\&=\left(\frac36\times\frac36\times\frac36\right)\times\frac13+\left(\frac46\times\frac26\times\frac26\right)\times\frac13+\left(\frac56\times\frac16\times\frac16\right)\times\frac13=\frac2{27}\end{aligned}$이다.

(2) (25점)○ 모범답안: 문제 (1)에서 주사위 A, B, C 중 임의의 주사위를 한 개 선택하여 그 주사위를 3회 던져 빨간색, 노란색, 노란색이 나올 확률은 $\displaystyle \mathrm P(\mathrm{RYY})=\frac2{27}$이다. 따라서, 임의의 주사위를 선택하여 빨간색, 노란색, 노란색인 나왔을 때 그 주사위가 A일 확률은 $\displaystyle \mathrm P(\mathrm A|\mathrm{RYY})$이므로, 제시문 (나)조건부확률의 정의에 의하여$\displaystyle \mathrm P(\mathrm A|\mathrm{RYY})=\frac{\mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm A)}{\mathrm P(\mathrm{RYY})}=\frac{\left(\frac36\times\frac36\times\frac36\right)\times\frac13}{\frac2{27}}=\frac9{16}$이다.