자연계열 I 1번

경북대 2019학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon1_1

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) $\displaystyle n$ 개에서 서로 같은 것이 각각 $\displaystyle p,q,\cdots,r$ 개씩 있을 때, 이들을 모두 택하여 일렬로 나열하는 순열의 수는 다음과 같다. $\displaystyle \frac{n!}{p!\times q!\times\cdots\times r!}$ (단, $\displaystyle p+q+\cdots+r=n$ )

(나) 확률이 0이 아닌 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여, 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률 $\displaystyle \mathrm P(B|A)$ 는 다음을 만족시킨다. $\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}$

(다) (1) 확률변수 $\displaystyle X$ 가 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m,\sigma^2)$ 을 따를 때, 확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-m}\sigma$ 은 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm N(0,1)$ 을 따른다.(2) 확률변수 $\displaystyle Z$ 가 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm N(0,1)$ 을 따른다고 할 때, $\displaystyle Z$ 의 확률밀도함수 $\displaystyle f(z)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}2}$ 은 직선 $\displaystyle z=0$ 에 대하여 대칭이고, 표준정규분포표의 일부분은 다음과 같다.

$\displaystyle z$	$\displaystyle \mathrm P(0\le Z\le z)$
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772
3.0	0.4987

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

【1-1】 0을 한 개 이하 사용하여 만든 세 자리 자연수 중에서 각 자리의 수의 합이 3인 자연수는 111, 120, 210, 102, 201이다. 0을 한 개 이하 사용하여 만든 여섯 자리 자연수 중에서 각 자리의 수의 합이 6인 자연수의 개수를 구하시오. (20점)

【1-2】 확률변수 $\displaystyle X$ 가 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m,\sigma^2)$ 을 따르고 다음 조건을 만족시킨다.

<조건>

(a) $\displaystyle \mathrm P(X\ge25)=\mathrm P(X\le33)$

(b) $\displaystyle \mathrm P(X\le23)=0.0668$

$\displaystyle \mathrm P(X\le37)$ 을 구하시오. (30점)

【1-3】 정육면체 모양의 3개의 주사위 A, B, C가 있다. A는 3면이 빨간색이고 나머지 3면은 노란색, B는 4면이 빨간색이고 나머지 2면은 노란색, C는 5면이 빨간색이고 나머지 1면이 노란색으로 칠해져있다.

(1) 세 주사위 A, B, C 중 임의로 주사위 한 개를 선택하여 그 선택된 주사위를 세 회 던졌을 때, 첫 번째는 빨간색 면이, 두 번째와 세 번째는 모두 노란색 면이 나올 확률을 구하시오. (25점)

(2) 세 주사위 A, B, C 중 임의로 주사위 한 개를 선택하여 그 선택된 주사위를 3회 던졌다. 첫 번째는 빨간색 면이, 두 번째와 세 번째는 모두 노란색 면이 나왔을 때, 선택된 주사위가 A일 확률을 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon1_1

+5점 · 0을 한 개도 사용하지 않는 경우와 0을 한 개 사용하는 경우로 나누면

+15점 · 각 조건으로부터 모든 경우의 수를 구하면

【1-1】 (20점)○ 모범답안: 각 자리의 숫자의 합이 6인 여섯 자리 자연수 중에서(ⅰ) 0을 한 개도 사용하지 않고 만든 숫자는 111111의 한 가지뿐이다.(ⅱ) 0을 한 개 사용하여 만든 숫자는 0, 1, 1, 1, 1, 2로 이루어져 있으므로(1) 첫째자리에 1이 오는 경우는 나머지 숫자 0, 1, 1, 1, 2를 배열하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{5!}{3!}=20$ (2) 첫째자리에 2가 오는 경우는 나머지 숫자 0, 1, 1, 1, 1을 배열하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{5!}{4!}=5$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 자연수의 개수는 $\displaystyle 1+20+5=26$ 개다.

+10점 · 조건 (a)로부터

\displaystyle \mathrm E(X)=\frac{25+33}2

임을 이용하여 평균

\displaystyle m=29

를 구하면

【1-2】 (30점)○ 모범답안: 조건 (a)로부터 $\displaystyle \mathrm E(X)=\frac{25+33}2=29$ 이고

+10점 · 조건 (b)로부터

\displaystyle \frac{23-29}\sigma=-1.5

임을 이용하여 표준편차

\displaystyle \sigma=4

를 구하면

조건 (b)로부터 $\displaystyle \mathrm P(X\le23)=\mathrm P\left(\frac{X-29}\sigma\le\frac{23-29}\sigma\right)=0.0668$ 이므로 $\displaystyle \frac{23-29}\sigma=-1.5$ 이다.따라서 $\displaystyle m=29$ 이고 $\displaystyle \sigma=4$ 이고

+10점 · 구해진 평균과 표준편차를 이용하여 확률

\displaystyle \mathrm P(X\le37)

를 구하면

확률변수 $\displaystyle X$ 는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(29,4^2)$ 을 따르므로 $\displaystyle \mathrm P(X\le37)=\mathrm P\left(Z\le\frac{37-29}4\right)=\mathrm P(Z\le2)=0.9772$ 이다.

+15점 · 조건부 확률을 이용하여 각각 주사위 A, B, C에 대한 확률을 구한 경우

【1-3】(1) (25점)○ 모범답안: A, B, C 주사위 각각에 대하여선택된 주사위가 A인 경우 빨간색(R), 노란색(Y), 노란색(Y)가 나올 확률은 $\displaystyle \mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm A)=\mathrm P(\mathrm{RYY}|\mathrm A)\mathrm P(\mathrm A)=\left(\frac36\times\frac36\times\frac36\right)\times\frac13$ 이다.선택된 주사위가 B인 경우 빨간색(R), 노란색(Y), 노란색(Y)가 나올 확률은 $\displaystyle \mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm B)=\mathrm P(\mathrm{RYY}|\mathrm B)\mathrm P(\mathrm B)=\left(\frac46\times\frac26\times\frac26\right)\times\frac13$ 이다.선택된 주사위가 C인 경우 빨간색(R), 노란색(Y), 노란색(Y)가 나올 확률은 $\displaystyle \mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm C)=\mathrm P(\mathrm{RYY}|\mathrm C)\mathrm P(\mathrm C)=\left(\frac56\times\frac16\times\frac16\right)\times\frac13$ 이다.

+10점 · 서로 배반임을 이해하여

\displaystyle \mathrm P(\mathrm{RYY})

를 경우

주사위 A, B, C가 선택되는 사건은 서로 배반사건이므로, 주사위 A, B, C 중 임의의 주사위를 한 개 선택하여 그 주사위를 3회 던져 빨간색, 노란색, 노란색이 나올 확률은 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(\mathrm{RYY})&=\mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm A)+\mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm B)+\mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm C)\\&=\left(\frac36\times\frac36\times\frac36\right)\times\frac13+\left(\frac46\times\frac26\times\frac26\right)\times\frac13+\left(\frac56\times\frac16\times\frac16\right)\times\frac13=\frac2{27}\end{aligned}$ 이다.

+15점 · 제시된 문항이 조건부 확률임을 이해하여 관계식을 구한 경우

+10점 · 관계식을 이용하여 정답을 구한 경우

(2) (25점)○ 모범답안: 문제 (1)에서 주사위 A, B, C 중 임의의 주사위를 한 개 선택하여 그 주사위를 3회 던져 빨간색, 노란색, 노란색이 나올 확률은 $\displaystyle \mathrm P(\mathrm{RYY})=\frac2{27}$ 이다. 따라서, 임의의 주사위를 선택하여 빨간색, 노란색, 노란색인 나왔을 때 그 주사위가 A일 확률은 $\displaystyle \mathrm P(\mathrm A|\mathrm{RYY})$ 이므로, 제시문 (나)조건부확률의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm P(\mathrm A|\mathrm{RYY})=\frac{\mathrm P(\mathrm{RYY}\cap\mathrm A)}{\mathrm P(\mathrm{RYY})}=\frac{\left(\frac36\times\frac36\times\frac36\right)\times\frac13}{\frac2{27}}=\frac9{16}$ 이다.

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