자연계열 II 4번

【4-1】 (20점) 세 점 A,B,D를 지나는 평면을 $\displaystyle \alpha$라 하면, 점 M은 선분 BD의 중점이므로 $\displaystyle \alpha$ 위에 있다. 조건 (b)를 이용하면,$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}&=-k(\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}})=-k(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})\\&=-k(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}-2\overrightarrow{\mathrm{AC}})\end{aligned}$이므로$\displaystyle (1+k)(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}})=2k\overrightarrow{\mathrm{AC}}$이다. M이 선분 BD의 중점이므로$\displaystyle (1+k)\overrightarrow{\mathrm{AM}}=(1+k)\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}}2=\frac22k\overrightarrow{\mathrm{AC}}$이다. 따라서 점 C는 직선 AM위에 위치하므로 네 점 A,B,C,D는 평면 $\displaystyle \alpha$위에 있고$\displaystyle \overline{\mathrm{AM}}:\overline{\mathrm{MC}}=k:1$이다.

【4-2】 (40점) $\displaystyle \theta(k)=\angle\mathrm{BAC}$라 하자. 조건 (a)와 【4-1】에 의해 선분 AC와 선분 BD는 선분 BD의 중점 M에서 수직으로 만나므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=2R(k)$이고 두 직각 삼각형 ACB와 BCM는 닮음이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{BC}}:\overline{\mathrm{MC}}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{MC}}=l$이라 두면 【4-1】에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=(k+1)l$이다. 이로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{k+1}\,l$임을 알 수 있고, $\displaystyle \sin(\theta(k))=\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{AC}}}=\frac{\sqrt{k+1}\,l}{(k+1)l}=\frac1{\sqrt{k+1}}$이고 $\displaystyle \cos(\theta(k))=\sqrt{\frac{k}{1+k}}$이다.

□ABCD의 내접원의 중심을 M′이라 하면 삼각형 ABC와 삼각형 ADC가 선분 AC에 대칭이므로 점 M′은 선분 AC위에 있다. 점 M′에서 선분 AB와 선분 CB에 내린 수선의 발을 각각 M′₁과 M′₂으로 두면 $\displaystyle r(k)=\overline{\mathrm{M^{\prime} M^{\prime}_1}}=\overline{\mathrm{M^{\prime} M^{\prime}_2}}$이고 두 직각 삼각형 AM′M′₁와 M′CM′₂는 닮음이다. 따라서$\displaystyle R(k)=\frac12(\overline{\mathrm{AM^{\prime}}}+\overline{\mathrm{M^{\prime} C}})=\frac{r(k)}{2\sin(\theta(k))}+\frac{r(k)}{2\cos(\theta(k))}$이므로$\displaystyle \frac{r(k)}{R(k)}=\frac{2\sin(\theta(k))\cos(\theta(k))}{\sin(\theta(k))+\cos(\theta(k))}=\frac{2\sqrt k}{\sqrt{1+k}(1+\sqrt k)}$이다.

【4-3】 (40점) 원점 O(0,0,0)를 두 평면 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$위로 정사영한 점을 각각 $\displaystyle \mathrm O_\alpha$와 $\displaystyle \mathrm O_\beta$라 두면, $\displaystyle \mathrm O_\alpha$는 □ABCD의 외접원의 중심이다. 여기서 세 점 $\displaystyle \mathrm O,\mathrm O_\alpha,\mathrm A$는 $\displaystyle \angle\mathrm{OO_\alpha A}=\frac\pi2$인 직각삼각형을 이루고, 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{OO_\alpha}}=\frac1{\sqrt{2+k^2}}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=1$이므로$\displaystyle R(k)=\overline{\mathrm{O_\alpha A}}=\sqrt{\frac{1+k^2}{2+k^2}}$이다.

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=2R(k)=2\sqrt{\frac{1+k^2}{2+k^2}}$이고 【4-1】에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{MC}}=\frac2{1+k}\sqrt{\frac{1+k^2}{2+k^2}}$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{OO_\beta}}=\overline{\mathrm{O_\alpha M}}=R(k)-\overline{\mathrm{MC}}=\frac{k-1}{k+1}\sqrt{\frac{1+k^2}{2+k^2}}$이다.

구 $\displaystyle S$가 평면 $\displaystyle \beta$와 만나는 원의 반지름을 $\displaystyle R_\beta(k)$라 두면 피타고라스 정리에 의해 다음을 알 수 있다.$\displaystyle R_\beta(k)=\sqrt{1-(\overline{\mathrm{OO_\beta}})^2}=\sqrt{\frac{4k^3+k^2+6k+1}{(k+1)^2(2+k^2)}}$따라서 구 $\displaystyle S$가 평면 $\displaystyle \beta$와 만나는 원의 넓이는$\displaystyle A_\beta(k)=\frac{\pi(4k^3+k^2+6k+1)}{(k+1)^2(2+k^2)}$이다.