자연계열 I 2번

【2-1】 (20점)○ 모범답안: 구 $\displaystyle S$가 세 점 A, B, C를 지나므로 주어진 구의 방정식으로부터$\displaystyle \begin{cases}5p+7r=-66\\p+3q=-2\\3p+2r=-22\end{cases}$이다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle p=-2,q=0,r=-8$이다. 따라서 $\displaystyle p^2+q^2+r^2=68$이다.

【2-2】 (30점)○ 모범답안: 제시문 (가)로부터 선분 CD를 $\displaystyle 1:7$로 내분하는 점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm P\left(\frac{a+42}8,\frac b8,\frac92\right)$이다. 점 P가 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있으므로$\displaystyle a+b=4$이다. 【2-1】에서 구 $\displaystyle S$의 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2+z^2-2x-8z-8=0$이다. 구 $\displaystyle S$가 점 D를 지나므로$\displaystyle a^2-2a+b^2=8$이다. 그러므로 $\displaystyle (a,b)=(1,3)$ 또는 $\displaystyle (a,b)=(4,0)$이다. $\displaystyle b>0$이므로 $\displaystyle (a,b)=(1,3)$이다. 따라서 점 D의 좌표는 D(1,3,8)이다. 직선 $\displaystyle \ell$의 방향벡터와 평면 $\displaystyle \alpha$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하면 직선 $\displaystyle \ell$과 평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터가 이루는 각은 $\displaystyle \frac\pi2-\theta$이다. 직선 $\displaystyle \ell$의 방향벡터와 평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터는 각각 $\displaystyle \vec u=(5,-3,-4)$와 $\displaystyle \vec n=(2,2,-1)$이므로 제시문 (나)로부터$\displaystyle \cos\left(\frac\pi2-\theta\right)=\frac{\vec u\cdot\vec n}{\|\vec u\|\|\vec n\|}=\frac{4\sqrt2}{15}$이다. 따라서 $\displaystyle \sin\theta=\frac{4\sqrt2}{15}$이다.

【2-3】 (30점)○ 모범답안: 구 $\displaystyle S$의 방정식은 $\displaystyle (x-1)^2+y^2+(z-4)^2=25$이므로 구의 중심은 $\displaystyle (1,0,4)$이고 반지름의 길이는 5이다. 제시문 (다)로부터 구 $\displaystyle S$의 중심과 평면 $\displaystyle \alpha$ 사이의 거리는 3이다. 그러므로 구 $\displaystyle S$가 평면 $\displaystyle \alpha$에 의하여 나누어지는 두 부분의 부피는 구 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=25$가 점 $\displaystyle (3,0,0)$을 지나고 $\displaystyle x$축에 수직인 평면에 의하여 나누어지는 두 부분의 부피와 같다.따라서 제시문 (라)에 의하여 큰 부분과 작은 부분의 부피는 각각$\displaystyle V_1=\pi\int_{-5}^3(25-x^2)\,dx=\frac{448}3\pi$와 $\displaystyle V_2=\pi\int_3^5(25-x^2)\,dx=\frac{52}3\pi$이다. 따라서 두 부분의 부피의 차는$\displaystyle V_1-V_2=132\pi$이다.