경북대 2019학년도 모의 자연계열 I 2번 해설

[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 좌표공간에서 두 점 $\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1,z_1),\mathrm B(x_2,y_2,z_2)$ 를 이은 선분 AB를 $\displaystyle m:n\ (m>0,n>0)$ 으로 내분하는 점 P의 좌표는 $\displaystyle \mathrm P\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n},\frac{mz_2+nz_1}{m+n}\right)$ 이다.

(나) 영벡터가 아닌 두 공간벡터 $\displaystyle \vec a=(a_1,a_2,a_3),\vec b=(b_1,b_2,b_3)$ 이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta\ (0\le\theta\le\pi)$ 라고 할 때, $\displaystyle \vec a$ 와 $\displaystyle \vec b$ 의 내적 $\displaystyle \vec a\cdot\vec b$ 는 $\displaystyle \begin{aligned}\vec a\cdot\vec b&=|\vec a||\vec b|\cos\theta\\&=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\end{aligned}$ 이다.

(다) 점 $\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1,z_1)$ 과 평면 $\displaystyle ax+by+cz+d=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ 이다.

(라) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 의 점 $\displaystyle x$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $\displaystyle S(x)$ 인 입체도형의 부피 $\displaystyle V$ 는 $\displaystyle V=\int_a^bS(x)\,dx$ 이다. (단, $\displaystyle S(x)$ 는 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이다.)

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

좌표공간에서 세 점 $\displaystyle \mathrm A(5,0,7),\mathrm B(1,3,0),\mathrm C(6,0,4)$ 를 지나는 구 $\displaystyle S$ 의 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2+z^2+px+qy+rz-8=0$ 과 같이 주어진다. 구 $\displaystyle S$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm D(a,b,8)$ 에 대하여 선분 CD를 $\displaystyle 1:7$ 로 내분하는 점이 평면 $\displaystyle \alpha:2x+2y-z=7$ 위에 있다. 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle p,q,r,a,b$ 는 상수이고, $\displaystyle b>0$ 이다.)

【2-1】 $\displaystyle p^2+q^2+r^2$ 의 값을 구하시오. (20점)

【2-2】 두 점 C, D를 지나는 직선과 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta\ \left(0\le\theta\le\frac\pi2\right)$ 라 할 때, $\displaystyle \sin\theta$ 의 값을 구하시오. (30점)

【2-3】 구 $\displaystyle S$ 는 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 의하여 두 부분으로 나누어진다. 이때, 두 부분의 부피의 차를 구하시오. (30점)

경북대 2019학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon1_2

【2-1】 (20점)○ 모범답안: 구 $\displaystyle S$ 가 세 점 A, B, C를 지나므로 주어진 구의 방정식으로부터 $\displaystyle \begin{cases}5p+7r=-66\\p+3q=-2\\3p+2r=-22\end{cases}$ 이다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle p=-2,q=0,r=-8$ 이다. 따라서 $\displaystyle p^2+q^2+r^2=68$ 이다.

【2-2】 (30점)○ 모범답안: 제시문 (가)로부터 선분 CD를 $\displaystyle 1:7$ 로 내분하는 점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm P\left(\frac{a+42}8,\frac b8,\frac92\right)$ 이다. 점 P가 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있으므로 $\displaystyle a+b=4$ 이다. 【2-1】에서 구 $\displaystyle S$ 의 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2+z^2-2x-8z-8=0$ 이다. 구 $\displaystyle S$ 가 점 D를 지나므로 $\displaystyle a^2-2a+b^2=8$ 이다. 그러므로 $\displaystyle (a,b)=(1,3)$ 또는 $\displaystyle (a,b)=(4,0)$ 이다. $\displaystyle b>0$ 이므로 $\displaystyle (a,b)=(1,3)$ 이다. 따라서 점 D의 좌표는 D(1,3,8)이다. 직선 $\displaystyle \ell$ 의 방향벡터와 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$ 라 하면 직선 $\displaystyle \ell$ 과 평면 $\displaystyle \alpha$ 의 법선벡터가 이루는 각은 $\displaystyle \frac\pi2-\theta$ 이다. 직선 $\displaystyle \ell$ 의 방향벡터와 평면 $\displaystyle \alpha$ 의 법선벡터는 각각 $\displaystyle \vec u=(5,-3,-4)$ 와 $\displaystyle \vec n=(2,2,-1)$ 이므로 제시문 (나)로부터 $\displaystyle \cos\left(\frac\pi2-\theta\right)=\frac{\vec u\cdot\vec n}{\|\vec u\|\|\vec n\|}=\frac{4\sqrt2}{15}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sin\theta=\frac{4\sqrt2}{15}$ 이다.

【2-3】 (30점)○ 모범답안: 구 $\displaystyle S$ 의 방정식은 $\displaystyle (x-1)^2+y^2+(z-4)^2=25$ 이므로 구의 중심은 $\displaystyle (1,0,4)$ 이고 반지름의 길이는 5이다. 제시문 (다)로부터 구 $\displaystyle S$ 의 중심과 평면 $\displaystyle \alpha$ 사이의 거리는 3이다. 그러므로 구 $\displaystyle S$ 가 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 의하여 나누어지는 두 부분의 부피는 구 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=25$ 가 점 $\displaystyle (3,0,0)$ 을 지나고 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면에 의하여 나누어지는 두 부분의 부피와 같다.따라서 제시문 (라)에 의하여 큰 부분과 작은 부분의 부피는 각각 $\displaystyle V_1=\pi\int_{-5}^3(25-x^2)\,dx=\frac{448}3\pi$ 와 $\displaystyle V_2=\pi\int_3^5(25-x^2)\,dx=\frac{52}3\pi$ 이다. 따라서 두 부분의 부피의 차는 $\displaystyle V_1-V_2=132\pi$ 이다.

하위 문항	채점기준
2-1	$\displaystyle p,q,r$ 을 제대로 구하고 $\displaystyle p^2+q^2+r^2$ 의 값을 구한 경우 20점<br> $\displaystyle p,q,r$ 을 제대로 구했지만 $\displaystyle p^2+q^2+r^2$ 의 값을 구하지 못한 경우 15점<br> $\displaystyle p,q,r$ 중 두 개의 값만 구한 경우 10점<br> $\displaystyle p,q,r$ 중 한 개의 값만 구한 경우 5점<br>나머지 경우 0점
2-2	점 D의 좌표를 구하고 직선 $\displaystyle \ell$ 의 방향벡터와 평면 $\displaystyle \alpha$ 의 법선벡터를 구한 후 $\displaystyle \sin\theta$ 의 값을 구하면 30점<br>점 D의 좌표를 구하고 직선 $\displaystyle \ell$ 의 방향벡터와 평면 $\displaystyle \alpha$ 의 법선벡터를 구하였지만 $\displaystyle \sin\theta$ 의 값을 구하지 못한 경우 20점<br>점 D의 좌표를 구한 경우 15점<br>내분점 P의 좌표를 구하고 $\displaystyle a+b$ 의 값을 계산한 경우 10점<br>내분점 P의 좌표를 구했지만 $\displaystyle a+b$ 의 값을 계산하지 못한 경우 5점<br>나머지 경우 0점
2-3	두 부분의 부피를 모두 제대로 구하고 두 부분의 부피의 차를 구한 경우 30점<br>두 부분의 부피를 구하였지만 두 부분의 차를 구하지 못한 경우 25점<br>두 부분 중 한 부분의 부피만을 구한 경우 15점<br>나머지 경우 0점

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 I 2번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개