자연계열 I 3번

【3-1】 (20점)○ 모범답안: $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle k=-1$이다. 삼각형의 넓이를 구하면$\displaystyle T_1=\frac12\cdot1\cdot f(1)=\frac12(a^b+k)$$\displaystyle T_2=\frac12\cdot1\cdot|f(-1)|=-\frac12(a^{-b}+k)$이다. $\displaystyle T_1=2T_2$이므로 $\displaystyle a^b+k=-2(a^{-b}+k)$, 즉 $\displaystyle (a^b)^2-3a^b+2=0$이다. 그러므로 $\displaystyle a^b=1$ 또는 $\displaystyle a^b=2$이다. $\displaystyle a>1,\ b\ne0$이므로 $\displaystyle a^b=2$이다.(1) $\displaystyle f(1)-k=a^b=2$

(2) $\displaystyle a^b=2$이므로 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a=\sqrt[n]8$이면 $\displaystyle b_n=\frac n3$이다. 그러므로$\displaystyle \sum_{n=1}^{30}b_n=\sum_{n=1}^{30}\frac n3=\frac13\times\frac{30\cdot31}2=155$이다.

【3-2】 (60점)○ 모범답안: 지수법칙에 의하여 $\displaystyle f(x)=a^{bx}+k=2^x-1$이다. 점 $\displaystyle \mathrm P(t,f(t))$에서의 미분계수가 $\displaystyle f'(t)=2^t\ln2$이므로 접선의 방정식은$\displaystyle y=2^t\ln2(x-t)+2^t-1$이다. 접선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 Q, 점 P를 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 Q의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle x=t-\frac{2^t-1}{2^t\ln2}$이므로 넓이 $\displaystyle S(t)$는$\displaystyle \begin{aligned}S(t)&=\int_0^t(2^x-1)\,dx-(\triangle\mathrm{PQH}\text{의 넓이})\\&=\frac{2^t-1}{\ln2}-t-\frac{(2^t-1)^2}{2^{t+1}\ln2}\\&=\frac{2^{2t}-1}{2^{t+1}\ln2}-t\\&=\frac1{2\ln2}\{f(t)-f(-t)\}-t\end{aligned}$이다.

(1) $\displaystyle t=1$일 때 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2\ln2(x-1)+1$이다.

(2) $\displaystyle S(t)=\frac1{2\ln2}\{f(t)-f(-t)\}-t$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac1{2\ln2},\ \beta=-\frac1{2\ln2},\ \gamma=-1$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha\beta\gamma=\frac1{4(\ln2)^2}$이다.

(3) $\displaystyle f'(t)=2^t\ln2,\ \{f(-t)\}'=-2^{-t}\ln2$이므로 $\displaystyle S'(t)=\frac12(2^t+2^{-t})-1$이다. $\displaystyle S'(t)=\frac1{12}$이므로 $\displaystyle 2^t+2^{-t}=\frac{13}6$, 즉 $\displaystyle 6\cdot2^{2t}-13\cdot2^t+6=0$이다. 따라서 $\displaystyle 2^t=\frac23$ 또는 $\displaystyle 2^t=\frac32$이다. 그런데 $\displaystyle t>0$이므로 $\displaystyle 2^t=\frac32$이다. 따라서 $\displaystyle f(t)=2^t-1=\frac12$이다.