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자연계열 I 3번

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경북대 2019학년도 모의 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon1_3

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[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)가 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은y=f′(a)(x−a)+f(a)\displaystyle y=f'(a)(x-a)+f(a)이다.

(나) 지수함수 f(x)=ax (a>0,a≠1)\displaystyle f(x)=a^x\ (a>0,a\ne1)에 대하여 다음이 성립한다.(1) f′(x)=axln⁡a\displaystyle f'(x)=a^x\ln a(2) ∫f(x) dx=axln⁡a+C\displaystyle \int f(x)\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C (단, C\displaystyle C는 상수이다.)

(다) 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 두 함수 y=f(x), y=g(x)\displaystyle y=f(x),\ y=g(x)의 그래프와 두 직선 x=a,x=b\displaystyle x=a,x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx이다.

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

원점 O(0,0)을 지나는 지수함수 f(x)=abx+k\displaystyle f(x)=a^{bx}+k의 그래프 위의 두 점 B(1,f(1)\displaystyle f(1)), D(−1,f(−1)\displaystyle f(-1))과 두 점 A(1,0), C(−1,0)에 대하여, 삼각형 OAB와 삼각형 OCD의 넓이를 각각 T1,T2\displaystyle T_1,T_2라 하자. T1=2T2\displaystyle T_1=2T_2일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, a>1,b≠0,k\displaystyle a>1,b\ne0,k는 상수이다.)

지수함수 위의 두 점과 삼각형 OAB, OCD

【3-1】 (1) f(1)−k\displaystyle f(1)-k의 값을 구하시오. (10점)

(2) 자연수 n\displaystyle n에 대하여 a=8n\displaystyle a=\sqrt[n]8일 때, b\displaystyle b의 값을 bn\displaystyle b_n이라 하자. ∑n=130bn\displaystyle \sum_{n=1}^{30}b_n의 값을 구하시오. (10점)

【3-2】 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)위의 점 P(t,f(t)) (t>0)\displaystyle \mathrm P(t,f(t))\ (t>0)에서의 접선을 ℓ\displaystyle \ell이라 하자. 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 접선 ℓ\displaystyle \ell 및 직선 y=0\displaystyle y=0으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S(t)\displaystyle S(t)라 하자.

지수함수와 접선 및 x축으로 둘러싸인 영역

(1) t=1\displaystyle t=1일 때, 접선의 방정식을 구하시오. (20점)

(2) 상수 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma에 대하여S(t)=αf(t)+βf(−t)+γt\displaystyle S(t)=\alpha f(t)+\beta f(-t)+\gamma t이다. αβγ\displaystyle \alpha\beta\gamma의 값을 구하시오. (20점)

(3) S′(t)=112\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac1{12}을 만족시키는 실수 t\displaystyle t에 대하여 f(t)\displaystyle f(t)의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 모의 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon1_3

+5점 · k\displaystyle k의 값을 구한다.

【3-1】 (20점)○ 모범답안: f(0)=0\displaystyle f(0)=0이므로 k=−1\displaystyle k=-1이다.

+5점 · 넓이의 관계식을 이용하여 지수방정식을 풀고 해를 구한다.

삼각형의 넓이를 구하면T1=12⋅1⋅f(1)=12(ab+k)\displaystyle T_1=\frac12\cdot1\cdot f(1)=\frac12(a^b+k)T2=12⋅1⋅∣f(−1)∣=−12(a−b+k)\displaystyle T_2=\frac12\cdot1\cdot|f(-1)|=-\frac12(a^{-b}+k)이다. T1=2T2\displaystyle T_1=2T_2이므로 ab+k=−2(a−b+k)\displaystyle a^b+k=-2(a^{-b}+k), 즉 (ab)2−3ab+2=0\displaystyle (a^b)^2-3a^b+2=0이다. 그러므로 ab=1\displaystyle a^b=1 또는 ab=2\displaystyle a^b=2이다. a>1, b≠0\displaystyle a>1,\ b\ne0이므로 ab=2\displaystyle a^b=2이다.(1) f(1)−k=ab=2\displaystyle f(1)-k=a^b=2

+5점 · 지수의 성질을 이용하여 bn\displaystyle b_n을 구한다.

(2) ab=2\displaystyle a^b=2이므로 자연수 n\displaystyle n에 대하여 a=8n\displaystyle a=\sqrt[n]8이면 bn=n3\displaystyle b_n=\frac n3이다.

+5점 · 수열의 합을 구한다.

그러므로∑n=130bn=∑n=130n3=13×30⋅312=155\displaystyle \sum_{n=1}^{30}b_n=\sum_{n=1}^{30}\frac n3=\frac13\times\frac{30\cdot31}2=155이다.

+5점 · 넓이를 적분으로 나타낸다.
+10점 · S(t)\displaystyle S(t)를 계산하여 구한다.

【3-2】 (60점)○ 모범답안: 지수법칙에 의하여 f(x)=abx+k=2x−1\displaystyle f(x)=a^{bx}+k=2^x-1이다. 점 P(t,f(t))\displaystyle \mathrm P(t,f(t))에서의 미분계수가 f′(t)=2tln⁡2\displaystyle f'(t)=2^t\ln2이므로 접선의 방정식은y=2tln⁡2(x−t)+2t−1\displaystyle y=2^t\ln2(x-t)+2^t-1이다. 접선이 x\displaystyle x축과 만나는 점을 Q, 점 P를 x\displaystyle x축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 Q의 x\displaystyle x좌표가 x=t−2t−12tln⁡2\displaystyle x=t-\frac{2^t-1}{2^t\ln2}이므로 넓이 S(t)\displaystyle S(t)는S(t)=∫0t(2x−1) dx−(△PQH의 넓이)=2t−1ln⁡2−t−(2t−1)22t+1ln⁡2=22t−12t+1ln⁡2−t=12ln⁡2{f(t)−f(−t)}−t\displaystyle \begin{aligned}S(t)&=\int_0^t(2^x-1)\,dx-(\triangle\mathrm{PQH}\text{의 넓이})\\&=\frac{2^t-1}{\ln2}-t-\frac{(2^t-1)^2}{2^{t+1}\ln2}\\&=\frac{2^{2t}-1}{2^{t+1}\ln2}-t\\&=\frac1{2\ln2}\{f(t)-f(-t)\}-t\end{aligned}이다.

+10점 · t=1\displaystyle t=1에서 미분계수를 구한다.
+10점 · 접선의 방정식을 구한다.

(1) t=1\displaystyle t=1일 때 접선의 방정식은 y=2ln⁡2(x−1)+1\displaystyle y=2\ln2(x-1)+1이다.

+5점 · 상수 α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma의 값을 구한다.

(2) S(t)=12ln⁡2{f(t)−f(−t)}−t\displaystyle S(t)=\frac1{2\ln2}\{f(t)-f(-t)\}-t이므로 α=12ln⁡2, β=−12ln⁡2, γ=−1\displaystyle \alpha=\frac1{2\ln2},\ \beta=-\frac1{2\ln2},\ \gamma=-1이다. 따라서 αβγ=14(ln⁡2)2\displaystyle \alpha\beta\gamma=\frac1{4(\ln2)^2}이다.

+10점 · S′(t)\displaystyle S^{\prime}(t)에 대한 식을 구한다.

(3) f′(t)=2tln⁡2, {f(−t)}′=−2−tln⁡2\displaystyle f'(t)=2^t\ln2,\ \{f(-t)\}'=-2^{-t}\ln2이므로 S′(t)=12(2t+2−t)−1\displaystyle S'(t)=\frac12(2^t+2^{-t})-1이다.

+10점 · 방정식을 풀고 해를 구한다.

S′(t)=112\displaystyle S'(t)=\frac1{12}이므로 2t+2−t=136\displaystyle 2^t+2^{-t}=\frac{13}6, 즉 6⋅22t−13⋅2t+6=0\displaystyle 6\cdot2^{2t}-13\cdot2^t+6=0이다. 따라서 2t=23\displaystyle 2^t=\frac23 또는 2t=32\displaystyle 2^t=\frac32이다. 그런데 t>0\displaystyle t>0이므로 2t=32\displaystyle 2^t=\frac32이다. 따라서 f(t)=2t−1=12\displaystyle f(t)=2^t-1=\frac12이다.

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