자연계열 II 3번

【3-1】 (15점)○ 모범답안:$\displaystyle f(\theta)=\cos^9\theta\sin\theta$라 두면 $\displaystyle f(-\theta)=\cos^9(-\theta)\sin(-\theta)=-\cos^9\theta\sin\theta=-f(\theta)$이므로 $\displaystyle f(\theta)$는 원점에 대하여 대칭 함수이다.따라서 $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi\cos^9\theta\sin\theta\,d\theta=0$이다.

【3-2】 (35점)○ 모범답안: $\displaystyle \mathrm A=\int_{-\pi}^\pi(\cos t\cos\theta+\sin t\sin\theta)^9(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta$를 먼저 계산을 하자.$\displaystyle \mathrm A=\int_{-\pi}^\pi\cos^9(t-\theta)(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta$$\displaystyle \phi=t-\theta$로 치환하면$\displaystyle \mathrm A=-\int_{t+\pi}^{t-\pi}\cos^9\phi\,(\cos(t-\phi)+\sin(t-\phi))\,d\phi$을 얻는다.

$\displaystyle g(\phi)=\cos^9\phi\,(\cos(t-\phi)+\sin(t-\phi))$라 놓으면$\displaystyle \mathrm A=\int_{t-\pi}^{-\pi}g(\phi)\,d\phi+\int_{-\pi}^{t+\pi}g(\phi)\,d\phi$으로 나눌 수 있다.$\displaystyle g(\phi)=g(2\pi+\phi)$이므로$\displaystyle \int_{t-\pi}^{-\pi}g(\phi)\,d\phi=\int_{t-\pi}^{-\pi}g(\phi+2\pi)\,d\phi=\int_{t+\pi}^{\pi}g(\phi)\,d\phi$이다.따라서 $\displaystyle \mathrm A=\int_{-\pi}^\pi\cos^9\phi\,(\cos(t-\phi)+\sin(t-\phi))\,d\phi$이다.

제시문 (가) (삼각함수의 덧셈정리)와 【3-1】에 의하여$\displaystyle \mathrm A=\int_{-\pi}^\pi\cos^{10}\phi\,d\phi\,(\cos t+\sin t)+\int_{-\pi}^\pi\cos^9\phi\sin\phi\,d\phi\,(\sin t-\cos t)$$\displaystyle =\int_{-\pi}^\pi\cos^{10}\phi\,d\phi\,(\cos t+\sin t)$이다.

부분적분을 두 번 적용하면 $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi\cos^{10}\phi\,d\phi=\frac{63}{80}\int_{-\pi}^\pi\cos^6\phi\,d\phi$이다.따라서, $\displaystyle h(t)=\frac{63}{80}(\cos t+\sin t)$이다.

$\displaystyle h(t)=\frac{21}{80}$을 만족하는 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle \frac{21^2}{80^2}=h(t)^2=\frac{63^2}{80^2}(1+2\cos t\sin t)$이므로 $\displaystyle \cos t\sin t=-\frac49$이다.