수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 3번

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경북대 2019학년도 모의 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon2_3

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[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 각 θ1,θ2\displaystyle \theta_1,\theta_2에 대해, 다음 등식이 성립한다.sin⁡(θ1+θ2)=sin⁡θ1cos⁡θ2+cos⁡θ1sin⁡θ2\displaystyle \sin(\theta_1+\theta_2)=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2cos⁡(θ1+θ2)=cos⁡θ1cos⁡θ2−sin⁡θ1sin⁡θ2\displaystyle \cos(\theta_1+\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2

(나) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 미분가능하고, 두 도함수 f′(x),g′(x)\displaystyle f'(x),g'(x)가 각각 연속일 때,∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)g'(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)\,dx이다.

(다) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)의 도함수 g′(t)\displaystyle g'(t)가 닫힌구간 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]에서 연속이고, a=g(α),b=g(β)\displaystyle a=g(\alpha),b=g(\beta)이면∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\,dt이다.

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

【3-1】 ∫−ππcos⁡9θsin⁡θ dθ\displaystyle \int_{-\pi}^\pi\cos^9\theta\sin\theta\,d\theta의 값을 구하시오. (15점)

【3-2】 임의의 실수 t\displaystyle t에 대하여 함수 h(t)\displaystyle h(t)를h(t)=∫−ππ(cos⁡tcos⁡θ+sin⁡tsin⁡θ)9(cos⁡θ+sin⁡θ) dθ∫−ππcos⁡6θ dθ\displaystyle h(t)=\frac{\int_{-\pi}^\pi(\cos t\cos\theta+\sin t\sin\theta)^9(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta}{\int_{-\pi}^\pi\cos^6\theta\,d\theta}라 하자. h(t)=2180\displaystyle h(t)=\frac{21}{80}을 만족하는 실수 t\displaystyle t에 대하여 cos⁡tsin⁡t\displaystyle \cos t\sin t의 값을 구하시오. (35점)

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 모의 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2019mo/jayeon2_3

+10점 · cos⁡9θsin⁡θ\displaystyle \cos^9\theta\sin\theta는 원점에 대하여 대칭하는 함수임을 안다.

【3-1】 (15점)○ 모범답안:f(θ)=cos⁡9θsin⁡θ\displaystyle f(\theta)=\cos^9\theta\sin\theta라 두면 f(−θ)=cos⁡9(−θ)sin⁡(−θ)=−cos⁡9θsin⁡θ=−f(θ)\displaystyle f(-\theta)=\cos^9(-\theta)\sin(-\theta)=-\cos^9\theta\sin\theta=-f(\theta)이므로 f(θ)\displaystyle f(\theta)는 원점에 대하여 대칭 함수이다.

+5점 · 기함수의 −π\displaystyle -\pi부터 π\displaystyle \pi적분이 0임을 안다.

따라서 ∫−ππcos⁡9θsin⁡θ dθ=0\displaystyle \int_{-\pi}^\pi\cos^9\theta\sin\theta\,d\theta=0이다.

+5점 · 치환 적분 ϕ=t−θ\displaystyle \phi=t-\theta을 한다.

【3-2】 (35점)○ 모범답안: A=∫−ππ(cos⁡tcos⁡θ+sin⁡tsin⁡θ)9(cos⁡θ+sin⁡θ) dθ\displaystyle \mathrm A=\int_{-\pi}^\pi(\cos t\cos\theta+\sin t\sin\theta)^9(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta를 먼저 계산을 하자.A=∫−ππcos⁡9(t−θ)(cos⁡θ+sin⁡θ) dθ\displaystyle \mathrm A=\int_{-\pi}^\pi\cos^9(t-\theta)(\cos\theta+\sin\theta)\,d\thetaϕ=t−θ\displaystyle \phi=t-\theta로 치환하면A=−∫t+πt−πcos⁡9ϕ (cos⁡(t−ϕ)+sin⁡(t−ϕ)) dϕ\displaystyle \mathrm A=-\int_{t+\pi}^{t-\pi}\cos^9\phi\,(\cos(t-\phi)+\sin(t-\phi))\,d\phi을 얻는다.

+10점 · 주기 함수의 주기 구간 적분의 값이 변하지 않음을 안다.

g(ϕ)=cos⁡9ϕ (cos⁡(t−ϕ)+sin⁡(t−ϕ))\displaystyle g(\phi)=\cos^9\phi\,(\cos(t-\phi)+\sin(t-\phi))라 놓으면A=∫t−π−πg(ϕ) dϕ+∫−πt+πg(ϕ) dϕ\displaystyle \mathrm A=\int_{t-\pi}^{-\pi}g(\phi)\,d\phi+\int_{-\pi}^{t+\pi}g(\phi)\,d\phi으로 나눌 수 있다.g(ϕ)=g(2π+ϕ)\displaystyle g(\phi)=g(2\pi+\phi)이므로∫t−π−πg(ϕ) dϕ=∫t−π−πg(ϕ+2π) dϕ=∫t+ππg(ϕ) dϕ\displaystyle \int_{t-\pi}^{-\pi}g(\phi)\,d\phi=\int_{t-\pi}^{-\pi}g(\phi+2\pi)\,d\phi=\int_{t+\pi}^{\pi}g(\phi)\,d\phi이다.따라서 A=∫−ππcos⁡9ϕ (cos⁡(t−ϕ)+sin⁡(t−ϕ)) dϕ\displaystyle \mathrm A=\int_{-\pi}^\pi\cos^9\phi\,(\cos(t-\phi)+\sin(t-\phi))\,d\phi이다.

+10점 · A=∫−ππcos⁡10ϕ dϕ (cos⁡t+sin⁡t)\displaystyle \mathrm A=\int_{-\pi}^\pi\cos^{10}\phi\,d\phi\,(\cos t+\sin t)을 구한다.

제시문 (가) (삼각함수의 덧셈정리)와 【3-1】에 의하여A=∫−ππcos⁡10ϕ dϕ (cos⁡t+sin⁡t)+∫−ππcos⁡9ϕsin⁡ϕ dϕ (sin⁡t−cos⁡t)\displaystyle \mathrm A=\int_{-\pi}^\pi\cos^{10}\phi\,d\phi\,(\cos t+\sin t)+\int_{-\pi}^\pi\cos^9\phi\sin\phi\,d\phi\,(\sin t-\cos t)=∫−ππcos⁡10ϕ dϕ (cos⁡t+sin⁡t)\displaystyle =\int_{-\pi}^\pi\cos^{10}\phi\,d\phi\,(\cos t+\sin t)이다.

+5점 · 부분적분을 하여 h(t)\displaystyle h(t)를 구한다.

부분적분을 두 번 적용하면 ∫−ππcos⁡10ϕ dϕ=6380∫−ππcos⁡6ϕ dϕ\displaystyle \int_{-\pi}^\pi\cos^{10}\phi\,d\phi=\frac{63}{80}\int_{-\pi}^\pi\cos^6\phi\,d\phi이다.따라서, h(t)=6380(cos⁡t+sin⁡t)\displaystyle h(t)=\frac{63}{80}(\cos t+\sin t)이다.

+5점 · 제곱하여 cos⁡tsin⁡t\displaystyle \cos t\sin t을 구한다.

h(t)=2180\displaystyle h(t)=\frac{21}{80}을 만족하는 t\displaystyle t에 대하여 212802=h(t)2=632802(1+2cos⁡tsin⁡t)\displaystyle \frac{21^2}{80^2}=h(t)^2=\frac{63^2}{80^2}(1+2\cos t\sin t)이므로 cos⁡tsin⁡t=−49\displaystyle \cos t\sin t=-\frac49이다.

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