자연계열 I 1번

[1-1]주어진 조건은 $\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=9,\ x_1\ge0,\ x_2\ge2,\ x_3\ge2,\ x_4\ge0$를 만족한다. 여기에서 $\displaystyle x_1$은 $\displaystyle m_1$월 이전에 달 수, $\displaystyle x_2$는 $\displaystyle m_1$월과 $\displaystyle m_2$월 사이의 달 수, $\displaystyle x_3$는 $\displaystyle m_2$월과 $\displaystyle m_3$월 사이의 달 수, 그리고 $\displaystyle x_4$는 $\displaystyle m_3$이후의 남은 달 수이다. 따라서 $\displaystyle y_2=x_2-2\ge0,\ y_3=x_3-2\ge0$이라 하면$\displaystyle x_1+y_2+y_3+x_4=5,\ x_1\ge0,\ y_2\ge0,\ y_3\ge0,\ x_4\ge0$을 만족하는 경우의 수는$\displaystyle {}_4\mathrm{H}_5={}_{4+5-1}\mathrm{C}_5={}_8\mathrm{C}_5=\frac{8\times7\times6\times5\times4}{5\times4\times3\times2\times1}=56$이다.

[1-2]확률변수 $\displaystyle X$가 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}(n,p)$를 따르므로 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=np$이고 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=np(1-p)$이다. 조건 (a)로부터 $\displaystyle np=4np(1-p)$이므로 $\displaystyle p=\frac34=\frac k8$이고 조건 (b)로부터 $\displaystyle \mathrm{P}(X=1)=30\mathrm{P}(X=0)$이므로 $\displaystyle {}_n\mathrm{C}_1p^1(1-p)^{n-1}=30{}_n\mathrm{C}_0(1-p)^n$으로부터 $\displaystyle np=30(1-p)$이다. 따라서 $\displaystyle k=6$이고 $\displaystyle n=10$이다.

[1-3]확률변수 $\displaystyle X$가 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}\left(m,\frac4{(2m+1)^2}\right)$를 따르므로$\displaystyle \mathrm{P}(X\le4)=\mathrm{P}\left(Z\le\frac{4-m}{\frac2{2m+1}}\right)=\mathrm{P}\left(Z\le\frac12(2m+1)(4-m)\right)$이다.표준정규분포표로부터 $\displaystyle \mathrm{P}(Z\le2)=0.9772$이므로 $\displaystyle \frac12(2m+1)(4-m)=2$이다. 따라서 $\displaystyle m=\frac72$이다.