자연계열 I 3번

【3-1】타원의 중심은 $\displaystyle \left(2p,\frac q2\right)$이다. 단축의 길이가 6이고, 타원이 $\displaystyle x$축에 접하므로 $\displaystyle q=6$이다. $\displaystyle (2p,0)$은 타원 위의 점이므로 $\displaystyle p=1$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{(x-2)^2}{36}+\frac{(y-3)^2}9=1$이다. 그러므로 초점의 좌표는 $\displaystyle (2+3\sqrt3,3),\ (2-3\sqrt3,3)$이다.

【3-2】 (1)타원과 직선 $\displaystyle l_1:y=mx$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{P}(x_0,y_0)$이라 하자. $\displaystyle m=\frac{y_0}{x_0}$이고, 점 P에서의 접선 $\displaystyle l_2$의 기울기 $\displaystyle f(m)=-\frac{x_0}{4y_0}=-\frac1{4m}$이다. 따라서 $\displaystyle mf(m)=-\frac14$이다.

【3-2】 (2)직선 $\displaystyle l_1$이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$, 직선 $\displaystyle l_2$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \beta$라 할 때, $\displaystyle m=\tan\alpha,\ f(m)=\tan\beta$이다.$\displaystyle \beta-\alpha=\pi-\theta(m)$이므로 $\displaystyle \tan(\theta(m))=\tan(\pi-(\beta-\alpha))=\frac{m+\frac1{4m}}{3/4}=\frac{4m^2+1}{3m}$이다.$\displaystyle \tan(\theta(m))$은 $\displaystyle m=\frac12$일 때 최솟값을 가지므로 $\displaystyle \tan(\theta(m))\ge\tan\left(\theta\left(\frac12\right)\right)$이다. 탄젠트함수는 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에서 증가함수이므로 $\displaystyle \theta(m)\ge\theta\left(\frac12\right)$이다. 따라서 $\displaystyle \theta(m)$의 최솟값은 $\displaystyle m=\frac12$일 때이다.