수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 3번

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경북대 2019학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon1_3

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[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 두 초점 F(c,0), F′(−c,0)\displaystyle \mathrm{F}(c,0),\ \mathrm{F}^{\prime}(-c,0)으로부터 거리의 합이 2a\displaystyle 2a인 타원의 방정식은x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (단, a>c>0, b2=a2−c2\displaystyle a>c>0,\ b^2=a^2-c^2)이다.

(나) 타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1을 x\displaystyle x축의 방향으로 m\displaystyle m만큼, y\displaystyle y축의 방향으로 n\displaystyle n만큼 평행이동한 타원의 방정식은(x−m)2a2+(y−n)2b2=1\displaystyle \frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1이다.

(다) 타원x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1위의 점 (x0,y0)\displaystyle (x_0,y_0)에서의 접선의 방정식은x0xa2+y0yb2=1\displaystyle \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1이다.

(라) 삼각함수의 덧셈정리tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【3-1】 타원x24+y2−px−qy+1=0\displaystyle \frac{x^2}4+y^2-px-qy+1=0이 x\displaystyle x축에 접하고 단축의 길이가 6일 때, 두 초점의 좌표를 구하시오. (단, p≥0,q≥0\displaystyle p\ge0,q\ge0이고 p2+q24>1\displaystyle p^2+\frac{q^2}4>1이다.) (30점)

【3-2】 타원x24R2+y2R2=1\displaystyle \frac{x^2}{4R^2}+\frac{y^2}{R^2}=1과 직선 l1:y=mx\displaystyle l_1:y=mx의 교점 중 제1사분면 위의 점을 P라 하고, 점 P에서 타원에 접하는 직선을 l2\displaystyle l_2라 하자. (단, R>0,m>0\displaystyle R>0,m>0이다.)(1) 직선 l2\displaystyle l_2의 기울기를 f(m)\displaystyle f(m)이라 할 때, mf(m)\displaystyle mf(m)을 구하시오. (20점)(2) 직선 l1\displaystyle l_1과 직선 l2\displaystyle l_2가 이루는 예각의 크기를 θ(m)\displaystyle \theta(m)이라 할 때, θ(m)\displaystyle \theta(m)이 최소가 되도록 하는 m\displaystyle m의 값을 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon1_3

+10점 · p\displaystyle p의 값을 구한다.
+10점 · q\displaystyle q의 값을 구한다.

【3-1】타원의 중심은 (2p,q2)\displaystyle \left(2p,\frac q2\right)이다. 단축의 길이가 6이고, 타원이 x\displaystyle x축에 접하므로 q=6\displaystyle q=6이다. (2p,0)\displaystyle (2p,0)은 타원 위의 점이므로 p=1\displaystyle p=1이다. 따라서 (x−2)236+(y−3)29=1\displaystyle \frac{(x-2)^2}{36}+\frac{(y-3)^2}9=1이다.

+5점 · 두 초점 중 하나의 좌표를 구한다.
+5점 · 두 초점 중 다른 하나의 좌표를 구한다.

그러므로 초점의 좌표는 (2+33,3), (2−33,3)\displaystyle (2+3\sqrt3,3),\ (2-3\sqrt3,3)이다.

+15점 · (1) f(m)\displaystyle f(m)을 구한다.

【3-2】 (1)타원과 직선 l1:y=mx\displaystyle l_1:y=mx의 교점을 P(x0,y0)\displaystyle \mathrm{P}(x_0,y_0)이라 하자. m=y0x0\displaystyle m=\frac{y_0}{x_0}이고, 점 P에서의 접선 l2\displaystyle l_2의 기울기 f(m)=−x04y0=−14m\displaystyle f(m)=-\frac{x_0}{4y_0}=-\frac1{4m}이다.

+5점 · (1) mf(m)\displaystyle mf(m)을 구한다.

따라서 mf(m)=−14\displaystyle mf(m)=-\frac14이다.

+10점 · (2) tan⁡(θ(m))\displaystyle \tan(\theta(m))을 구한다.

【3-2】 (2)직선 l1\displaystyle l_1이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각을 α\displaystyle \alpha, 직선 l2\displaystyle l_2가 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각을 β\displaystyle \beta라 할 때, m=tan⁡α, f(m)=tan⁡β\displaystyle m=\tan\alpha,\ f(m)=\tan\beta이다.β−α=π−θ(m)\displaystyle \beta-\alpha=\pi-\theta(m)이므로 tan⁡(θ(m))=tan⁡(π−(β−α))=m+14m3/4=4m2+13m\displaystyle \tan(\theta(m))=\tan(\pi-(\beta-\alpha))=\frac{m+\frac1{4m}}{3/4}=\frac{4m^2+1}{3m}이다.

+20점 · (2) m\displaystyle m의 값을 구한다.

tan⁡(θ(m))\displaystyle \tan(\theta(m))은 m=12\displaystyle m=\frac12일 때 최솟값을 가지므로 tan⁡(θ(m))≥tan⁡(θ(12))\displaystyle \tan(\theta(m))\ge\tan\left(\theta\left(\frac12\right)\right)이다. 탄젠트함수는 구간 (0,π2)\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)에서 증가함수이므로 θ(m)≥θ(12)\displaystyle \theta(m)\ge\theta\left(\frac12\right)이다. 따라서 θ(m)\displaystyle \theta(m)의 최솟값은 m=12\displaystyle m=\frac12일 때이다.

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