자연계열 I 4번

【4-1】$\displaystyle \int_e^3\frac2{f(x)}\,dx=\frac1{4a}\int_e^3\left\{\frac1{x-2}-\frac1x\right\}dx=\frac1{4a}(1-\ln(3e-6))$이다. 조건으로부터 $\displaystyle a=\frac14$이다.

【4-2】 (1)$\displaystyle h(x)=x^5e^{-g(x)}\frac d{dx}\left(\frac{e^{g(x)}}{x^4}\right)=xg^{\prime}(x)-4$이므로 $\displaystyle h(1)=g^{\prime}(1)-4=-\frac92$이다.

【4-2】 (2)$\displaystyle f(x)=2xg^{\prime}(x)$이고 $\displaystyle t=2xg^{\prime}(x)$로 치환하여 적분하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2\left(\frac d{dx}e^{f(x)}\right)h(x)\,dx&=\int_1^2(xg^{\prime}(x)-4)(2g^{\prime}(x)-2xg^{\prime\prime}(x))e^{2xg^{\prime}(x)}\,dx\\&=\frac12\int_{2g^{\prime}(1)}^0(t-8)e^t\,dt=5e^{-1}-\frac92\end{aligned}$Correction. $\displaystyle f(x)=2xg'(x)$의 도함수는 $\displaystyle 2g'(x)+2xg''(x)$이다. 적분 중간식의 뺄셈 부호는 덧셈 부호의 오기이다. 이후 치환적분에는 올바른 도함수가 사용되었다. 원문 표기는 그대로 실었다.이다. 따라서 $\displaystyle p=5,q=-\frac92$이므로 $\displaystyle p+2q=-4$이다.

【4-3】$\displaystyle (b)$에 의해 $\displaystyle k(x)$는 증가함수이므로 조건 $\displaystyle (a)$와 $\displaystyle k(2)=\ln c-d+1\ge0$는 동치이다. 그러므로 $\displaystyle 0\le d\le\ln c+1$이다.

$\displaystyle (b)$에 의해$\displaystyle k^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)(e^{f(x)}-c-f(x))}{(c+f(x))e^{f(x)}}\ge0$이다. $\displaystyle 0\le d\le\ln c+1$으로부터 $\displaystyle c\ge\frac1e$이므로 $\displaystyle x\ge\frac{19}{10}$에 대해 $\displaystyle f(x)+c>0$이다. 그래서 $\displaystyle k^{\prime}(x)\ge0$와 $\displaystyle F(x)=e^{f(x)}-c-f(x)\ge0$는 동치이고, $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 최솟값을 가지므로 $\displaystyle F(2)=1-c\ge0$와도 동치이다. 즉, $\displaystyle c\le1$이다. 따라서 구하고자 하는 영역의 넓이는$\displaystyle \int_{1/e}^1(\ln x+1)\,dx=\frac1e$이다.