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자연계열 I 4번

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경북대 2019학년도 수시 자연계열 I 4번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon1_4

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[4] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 미분가능한 두 함수 y=f(u), u=g(x)\displaystyle y=f(u),\ u=g(x)에 대하여 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는y′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle y^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)이다.

(나) 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)의 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 닫힌 구간 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]에서 연속일 때,∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt이다. (단, a=g(α), b=g(β)\displaystyle a=g(\alpha),\ b=g(\beta)이다.)

(다) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 미분가능하고 f′(x),g′(x)\displaystyle f^{\prime}(x),g^{\prime}(x)가 연속일 때,∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

이차함수 f(x)=4ax2−8ax\displaystyle f(x)=4ax^2-8ax는∫e32f(x) dx=1−ln⁡(3e−6)\displaystyle \int_e^3\frac2{f(x)}\,dx=1-\ln(3e-6)을 만족한다. (단, a>0\displaystyle a>0이고 e\displaystyle e는 자연로그의 밑이다.)

【4-1】 a\displaystyle a의 값을 구하시오. (15점)

【4-2】 이차함수 g(x)=x24−x+10\displaystyle g(x)=\frac{x^2}4-x+10과 구간 (0,∞)\displaystyle (0,\infty)에서 정의된 함수h(x)=x5e−g(x)ddx(eg(x)x4)\displaystyle h(x)=x^5e^{-g(x)}\frac d{dx}\left(\frac{e^{g(x)}}{x^4}\right)에 대하여 다음 물음에 답하시오.(1) h(1)\displaystyle h(1)의 값을 구하시오. (15점)(2) ∫12(ddxef(x))h(x) dx=pe+q\displaystyle \int_1^2\left(\frac d{dx}e^{f(x)}\right)h(x)\,dx=\frac pe+q일 때, p+2q\displaystyle p+2q의 값을 구하시오. (단, p,q\displaystyle p,q는 유리수이다.) (30점)

【4-3】 음이 아닌 두 실수 c,d\displaystyle c,d에 대하여 구간 I=[1910,∞)\displaystyle I=\left[\frac{19}{10},\infty\right)에서 정의된 함수 k(x)\displaystyle k(x)는k(x)=ln⁡(f(x)+c)+e−f(x)−d\displaystyle k(x)=\ln(f(x)+c)+e^{-f(x)}-d이다. 함수 k(x)\displaystyle k(x)가 다음의 두 조건을 동시에 만족시킬 때, c\displaystyle c와 d\displaystyle d의 순서쌍 (c,d)\displaystyle (c,d)가 나타내는 영역의 넓이를 구하시오. (40점)

(a)\displaystyle (a) 모든 x≥2\displaystyle x\ge2에 대하여 k(x)≥0\displaystyle k(x)\ge0

(b)\displaystyle (b) 모든 x1,x2∈I\displaystyle x_1,x_2\in I에 대하여 (x1−x2)(k(x1)−k(x2))≥0\displaystyle (x_1-x_2)(k(x_1)-k(x_2))\ge0

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 수시 자연계열 I 4번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon1_4

+10점 · 정적분을 구한다. ∫e32f(x) dx=14a(1−ln⁡(3e−6))\displaystyle \int_e^3\frac2{f(x)}\,dx=\frac1{4a}(1-\ln(3e-6))

【4-1】∫e32f(x) dx=14a∫e3{1x−2−1x}dx=14a(1−ln⁡(3e−6))\displaystyle \int_e^3\frac2{f(x)}\,dx=\frac1{4a}\int_e^3\left\{\frac1{x-2}-\frac1x\right\}dx=\frac1{4a}(1-\ln(3e-6))이다.

+5점 · a=14\displaystyle a=\frac14을 구한다.

조건으로부터 a=14\displaystyle a=\frac14이다.

+10점 · (1) h(x)=xg′(x)−4=12x2−x−4\displaystyle h(x)=xg^{\prime}(x)-4=\frac12x^2-x-4를 구한다.

【4-2】 (1)h(x)=x5e−g(x)ddx(eg(x)x4)=xg′(x)−4\displaystyle h(x)=x^5e^{-g(x)}\frac d{dx}\left(\frac{e^{g(x)}}{x^4}\right)=xg^{\prime}(x)-4

+5점 · (1) h(1)=92\displaystyle h(1)=\frac92를 구한다.

이므로 h(1)=g′(1)−4=−92\displaystyle h(1)=g^{\prime}(1)-4=-\frac92이다.

+5점 · (2) 부분적분 또는 t=2xg′(x)\displaystyle t=2xg^{\prime}(x)로 치환적분

【4-2】 (2)f(x)=2xg′(x)\displaystyle f(x)=2xg^{\prime}(x)이고 t=2xg′(x)\displaystyle t=2xg^{\prime}(x)로 치환하여 적분하면

+20점 · (2) ∫12(ddxef(x))h(x) dx=5e−1−92\displaystyle \int_1^2\left(\frac d{dx}e^{f(x)}\right)h(x)\,dx=5e^{-1}-\frac92를 구한다.

∫12(ddxef(x))h(x) dx=∫12(xg′(x)−4)(2g′(x)−2xg′′(x))e2xg′(x) dx=12∫2g′(1)0(t−8)et dt=5e−1−92\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2\left(\frac d{dx}e^{f(x)}\right)h(x)\,dx&=\int_1^2(xg^{\prime}(x)-4)(2g^{\prime}(x)-2xg^{\prime\prime}(x))e^{2xg^{\prime}(x)}\,dx\\&=\frac12\int_{2g^{\prime}(1)}^0(t-8)e^t\,dt=5e^{-1}-\frac92\end{aligned}Correction. f(x)=2xg′(x)\displaystyle f(x)=2xg'(x)의 도함수는 2g′(x)+2xg′′(x)\displaystyle 2g'(x)+2xg''(x)이다. 적분 중간식의 뺄셈 부호는 덧셈 부호의 오기이다. 이후 치환적분에는 올바른 도함수가 사용되었다. 원문 표기는 그대로 실었다.이다.

+5점 · (2) p+2q=−4\displaystyle p+2q=-4를 구한다.

따라서 p=5,q=−92\displaystyle p=5,q=-\frac92이므로 p+2q=−4\displaystyle p+2q=-4이다.

+10점 · (a),(b)\displaystyle (a),(b)로부터 0≤d≤ln⁡c+1\displaystyle 0\le d\le\ln c+1를 구한다.

【4-3】(b)\displaystyle (b)에 의해 k(x)\displaystyle k(x)는 증가함수이므로 조건 (a)\displaystyle (a)와 k(2)=ln⁡c−d+1≥0\displaystyle k(2)=\ln c-d+1\ge0는 동치이다. 그러므로 0≤d≤ln⁡c+1\displaystyle 0\le d\le\ln c+1이다.

+5점 · k′(x)\displaystyle k^{\prime}(x)를 구한다.

(b)\displaystyle (b)에 의해k′(x)=f′(x)(ef(x)−c−f(x))(c+f(x))ef(x)≥0\displaystyle k^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)(e^{f(x)}-c-f(x))}{(c+f(x))e^{f(x)}}\ge0이다.

+5점 · k′(x)≥0\displaystyle k^{\prime}(x)\ge0을 확인하기 위해 f(1910)+c>0\displaystyle f\left(\frac{19}{10}\right)+c>0를 확인한다.

0≤d≤ln⁡c+1\displaystyle 0\le d\le\ln c+1으로부터 c≥1e\displaystyle c\ge\frac1e이므로 x≥1910\displaystyle x\ge\frac{19}{10}에 대해 f(x)+c>0\displaystyle f(x)+c>0이다.

+10점 · (a),(b)\displaystyle (a),(b)로부터 c≤1\displaystyle c\le1를 구한다.

그래서 k′(x)≥0\displaystyle k^{\prime}(x)\ge0와 F(x)=ef(x)−c−f(x)≥0\displaystyle F(x)=e^{f(x)}-c-f(x)\ge0는 동치이고, F(x)\displaystyle F(x)는 x=2\displaystyle x=2에서 최솟값을 가지므로 F(2)=1−c≥0\displaystyle F(2)=1-c\ge0와도 동치이다. 즉, c≤1\displaystyle c\le1이다.

+10점 · 영역의 넓이 1e\displaystyle \frac1e를 구한다.

따라서 구하고자 하는 영역의 넓이는∫1/e1(ln⁡x+1) dx=1e\displaystyle \int_{1/e}^1(\ln x+1)\,dx=\frac1e이다.

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