수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 II 2번

경북대 2019학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon2_2

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[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 두 점 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1,z_1),\mathrm B(x_2,y_2,z_2)에 대하여 선분 AB를(1) m:n (m>0,n>0)\displaystyle m:n\ (m>0,n>0)으로 내분하는 점 P의 좌표는P(mx2+nx1m+n,my2+ny1m+n,mz2+nz1m+n)\displaystyle \mathrm P\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n},\frac{mz_2+nz_1}{m+n}\right)(2) m:n (m>0,n>0,m≠n)\displaystyle m:n\ (m>0,n>0,m\ne n)으로 외분하는 점 Q의 좌표는Q(mx2−nx1m−n,my2−ny1m−n,mz2−nz1m−n)\displaystyle \mathrm Q\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n},\frac{my_2-ny_1}{m-n},\frac{mz_2-nz_1}{m-n}\right)

(나) 두 점 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1,z_1),\mathrm B(x_2,y_2,z_2)를 지나는 직선의 방정식은x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}이다. (단, x1≠x2,y1≠y2,z1≠z2\displaystyle x_1\ne x_2,y_1\ne y_2,z_1\ne z_2이다.)

(다) 두 직선 l1,l2\displaystyle l_1,l_2의 방향벡터가 각각 d⃗1,d⃗2\displaystyle \vec d_1,\vec d_2일 때, 두 직선 l1,l2\displaystyle l_1,l_2가 서로 수직이면 d⃗1⋅d⃗2=0\displaystyle \vec d_1\cdot\vec d_2=0이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

좌표공간에 네 점 A(1,2,4),B(4,1,9),C(−3,5,−7),D(a,b,c)\displaystyle \mathrm A(1,2,4),\mathrm B(4,1,9),\mathrm C(-3,5,-7),\mathrm D(a,b,c)가 있다. 두 직선 AB와 CD가 서로 수직이고 점 D는 직선 AB 위에 있다. 선분 AB를 m:1\displaystyle m:1로 내분하는 점을 P라 하고, m2:1\displaystyle m^2:1로 외분하는 점을 Q라 하자. (단, a,b,c\displaystyle a,b,c는 실수이고, m>2\displaystyle m>2이다.)

【2-1】 a+b+c\displaystyle a+b+c의 값을 구하시오. (10점)

【2-2】 m=3\displaystyle m=3일 때, 점 P와 Q의 좌표를 구하시오. (10점)

【2-3】 선분 PQ의 중점을 M이라 할 때, 다음은 벡터 CM→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}의 크기의 최솟값을 구하는 과정이다.

주어진 조건으로부터 점 M은 선분 DB를 1:\displaystyle 1: ① 로 내분하는 점이다. 그런데 세 점 B, D, M은 한 직선 위에 있으므로 두 벡터 DM→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DM}}과 DB→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DB}}는 서로 평행하다. 그러므로DM→=\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DM}}= ② DB→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DB}}이다. 한편 ∣CM→∣2=∣CD→+DM→∣2\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{CM}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DM}}|^2이고⋮\displaystyle \vdots(중략)⋮\displaystyle \vdots따라서 벡터 CM→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}의 크기의 최솟값은 ③ 이다.

①, ②, ③에 들어갈 m\displaystyle m에 대한 식 또는 수를 각각 f(m),g(m),α\displaystyle f(m),g(m),\alpha라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) lim⁡m→∞mf(m)\displaystyle \lim_{m\to\infty}mf(m)을 구하시오. (20점)

(2) g(m)\displaystyle g(m)이 최소가 되는 m\displaystyle m의 값을 구하시오. (30점)

(3) α2=p+q316\displaystyle \alpha^2=\frac{p+q\sqrt3}{16}일 때, p+q\displaystyle p+q의 값을 구하시오. (단, p,q\displaystyle p,q는 정수이다.) (20점)

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon2_2

+3점 · a=−5\displaystyle a=-5를 구한 경우 +3점 · b=4\displaystyle b=4를 구한 경우 +3점 · c=−6\displaystyle c=-6을 구한 경우 +1점 · a+b+c=−7\displaystyle a+b+c=-7을 구한 경우

【2-1】 (10점)○ 주어진 조건으로부터 직선 AB의 방정식은x−13=y−2−1=z−45\displaystyle \frac{x-1}3=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-4}5이므로 D의 좌표는 (a,b,c)=(3t+1,−t+2,5t+4)\displaystyle (a,b,c)=(3t+1,-t+2,5t+4)와 같이 표현할 수 있다. 직선 CD의 방향벡터는 (3t+4,−t−3,5t+11)\displaystyle (3t+4,-t-3,5t+11)이고 두 직선 AB와 CD가 서로 수직이므로(3t+4,−t−3,5t+11)⋅(3,−1,5)=0\displaystyle (3t+4,-t-3,5t+11)\cdot(3,-1,5)=0이다. 그러므로 t=−2\displaystyle t=-2이고 (a,b,c)=(−5,4,−6)\displaystyle (a,b,c)=(-5,4,-6)이다. 따라서 a+b+c=−7\displaystyle a+b+c=-7이다.

+5점 · P(134,54,314)\displaystyle \mathrm P\left(\frac{13}4,\frac54,\frac{31}4\right)을 구한 경우 +5점 · Q(358,78,778)\displaystyle \mathrm Q\left(\frac{35}8,\frac78,\frac{77}8\right)을 구한 경우

【2-2】 (10점)○ 주어진 조건으로부터P(4m+1m+1,m+2m+1,9m+4m+1),Q(4m2−1m2−1,m2−2m2−1,9m2−4m2−1)\displaystyle \mathrm P\left(\frac{4m+1}{m+1},\frac{m+2}{m+1},\frac{9m+4}{m+1}\right),\quad\mathrm Q\left(\frac{4m^2-1}{m^2-1},\frac{m^2-2}{m^2-1},\frac{9m^2-4}{m^2-1}\right)이다. 따라서 m=3\displaystyle m=3일 때, P(134,54,314), Q(358,78,778)\displaystyle \mathrm P\left(\frac{13}4,\frac54,\frac{31}4\right),\ \mathrm Q\left(\frac{35}8,\frac78,\frac{77}8\right)이다.

+10점 · f(m)=m−26m2−m−4\displaystyle f(m)=\frac{m-2}{6m^2-m-4} 또는 f(m)\displaystyle f(m)에 대한 관계식을 구한 경우 +10점 · lim⁡m→∞mf(m)=16\displaystyle \lim_{m\to\infty}mf(m)=\frac16을 구한 경우

【2-3】 (20+30+20=70점)(1) (20점) ○ 선분 PQ의 중점 M의 좌표는 M(4+−3m+62m2−2,1+m−22m2−2,9+−5m+102m2−2)\displaystyle \mathrm M\left(4+\frac{-3m+6}{2m^2-2},1+\frac{m-2}{2m^2-2},9+\frac{-5m+10}{2m^2-2}\right)이고 【2-1】의 풀이로부터 D(−5,4,−6)\displaystyle \mathrm D(-5,4,-6)이다. M은 선분 DB를 1:f(m)\displaystyle 1:f(m)으로 내분하는 점이므로4−5f(m)1+f(m)=4+−3m+62m2−2\displaystyle \frac{4-5f(m)}{1+f(m)}=4+\frac{-3m+6}{2m^2-2}이다. 그러므로 f(m)=m−26m2−m−4\displaystyle f(m)=\frac{m-2}{6m^2-m-4}이다. 따라서 lim⁡m→∞mf(m)=16\displaystyle \lim_{m\to\infty}mf(m)=\frac16이다.

+10점 · g(m)=6m2−m−46m2−6\displaystyle g(m)=\frac{6m^2-m-4}{6m^2-6} 또는 g(m)\displaystyle g(m)에 대한 관계식을 구한 경우 +20점 · m=2+3\displaystyle m=2+\sqrt3을 구한 경우

(2) (30점) ○ 세 점 B, D, M은 한 직선 위에 있으므로 두 벡터 DM→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DM}}과 DB→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DB}}는 서로 평행하다. (1)로부터DM→=11+f(m)DB→=6m2−m−46m2−6DB→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DM}}=\frac1{1+f(m)}\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\frac{6m^2-m-4}{6m^2-6}\overrightarrow{\mathrm{DB}}이므로 g(m)=6m2−m−46m2−6\displaystyle g(m)=\frac{6m^2-m-4}{6m^2-6}이다. g(m)\displaystyle g(m)의 도함수의 부호를 조사하면 함수 g(m)\displaystyle g(m)은 m=2+3\displaystyle m=2+\sqrt3일 때 최소가 됨을 알 수 있다.

+9점 · p=3701\displaystyle p=3701을 구한 경우 +9점 · q=700\displaystyle q=700을 구한 경우 +2점 · p+q=4401\displaystyle p+q=4401을 구한 경우

(3) (20점) ○ 조건으로부터 ∣CD→∣=6\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt6이고 ∣DB→∣=335\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=3\sqrt{35}이다. DM→=g(m)DB→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DM}}=g(m)\overrightarrow{\mathrm{DB}}이고 두 벡터 CD→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}와 DM→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DM}}은 서로 수직이므로∣CM→∣2=∣CD→+DM→∣2=∣CD→∣2+{g(m)}2∣DB→∣2=6+315{g(m)}2\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{CM}}|^2&=|\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DM}}|^2\\&=|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|^2+\{g(m)\}^2|\overrightarrow{\mathrm{DB}}|^2\\&=6+315\{g(m)\}^2\end{aligned}이다. g(m)\displaystyle g(m)의 최솟값은 g(2+3)=10+312\displaystyle g(2+\sqrt3)=\frac{10+\sqrt3}{12}이므로 ∣CM→∣2\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{CM}}|^2의 최솟값은α2=3701+700316\displaystyle \alpha^2=\frac{3701+700\sqrt3}{16}이다. 따라서 p=3701,q=700\displaystyle p=3701,q=700이고 p+q=4401\displaystyle p+q=4401이다.

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