자연계열 II 3번

【3-1】함수 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 극솟값을 가지므로$\displaystyle g^{\prime}(1)=f(1)-f^{-1}(1)=0\quad\text{즉,}\ f(1)=1$이다. 그러므로$\displaystyle (a+b)e=1$이다.

함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 함수 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이고 $\displaystyle f(0)=0,\ f(1)=1$이므로 정적분과 넓이의 관계에 의하여$\displaystyle \int_0^1\{f(x)+f^{-1}(x)\}\,dx=1$이다. 또 조건으로부터 $\displaystyle g(1)=-\frac13$이므로$\displaystyle g(1)=\int_0^1\{f(x)-f^{-1}(x)\}\,dx=-\frac13$이다. 따라서 $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\frac13$이다.

한편 부분적분법을 이용하면$\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1(ax^2+bx)e^x\,dx=ae+b-2a$이므로$\displaystyle ae+b-2a=\frac13$이다. 그러므로 $\displaystyle a=\frac1{3e},\ b=\frac2{3e}$이다. 따라서 $\displaystyle \frac ba=2$이다.

【3-2】함수 $\displaystyle f(x)=\frac1{3e}(x^2+2x)e^x$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (1,f(1))$에서의 접선 $\displaystyle l_1$의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac73$이다. 또 역함수의 미분법에 의하여 곡선 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$ 위의 점 $\displaystyle (1,f^{-1}(1))$에서의 접선 $\displaystyle l_2$의 기울기는 $\displaystyle \frac37$이다. 직선 $\displaystyle l_1$의 기울기를 $\displaystyle \tan\theta_1$, 직선 $\displaystyle l_2$의 기울기를 $\displaystyle \tan\theta_2$라 하면 $\displaystyle \tan\theta_1=\frac73,\ \tan\theta_2=\frac37$이고 $\displaystyle \theta=\theta_1-\theta_2$이므로$\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{20}{21}$이다.

【3-3】함수 $\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)$라 하면 $\displaystyle h(x)$는 증가함수이고 $\displaystyle h(1)=\frac43$이므로 $\displaystyle f(\alpha)-g(\alpha)=4$인 $\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle \alpha>1$이다. 한편 문제의 조건으로부터$\displaystyle 4=f(\alpha)-g(\alpha)=f(\alpha)-g(1)-\int_1^\alpha f(x)\,dx+\int_1^\alpha f^{-1}(x)\,dx$이므로$\displaystyle \int_1^\alpha f^{-1}(x)\,dx=\frac{10}3-f(\alpha)+\frac1{3e}\alpha^2e^\alpha$이다. 그러므로$\displaystyle 2\alpha e^{\alpha-1}+3\int_1^\alpha f^{-1}(x)\,dx=10$이다.