수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 3번

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경북대 2019학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon2_3

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[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 미분가능하고 f′(x),g′(x)\displaystyle f^{\prime}(x),g^{\prime}(x)가 연속일 때,∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx이다.

(나) 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)가 존재하고 미분가능할 때, y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)의 도함수는(f−1)′(x)=1f′(y)\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(x)=\frac1{f^{\prime}(y)} (단, f′(y)≠0\displaystyle f^{\prime}(y)\ne0)이다.

(다) 삼각함수의 덧셈정리tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

함수 f(x)=(ax2+bx)ex\displaystyle f(x)=(ax^2+bx)e^x에 대하여 구간 [0,∞)\displaystyle [0,\infty)에서 정의된 함수g(x)=∫0x{f(t)−f−1(t)} dt\displaystyle g(x)=\int_0^x\{f(t)-f^{-1}(t)\}\,dt는 x=1\displaystyle x=1에서 극솟값 −13\displaystyle -\frac13을 갖는다. (단, a,b\displaystyle a,b는 양수이고, f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)는 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수이다.)

【3-1】 ba\displaystyle \frac ba의 값을 구하시오. (30점)

【3-2】 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (1,f(1))\displaystyle (1,f(1))에서의 접선을 l1\displaystyle l_1, 곡선 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x) 위의 점 (1,f−1(1))\displaystyle (1,f^{-1}(1))에서의 접선을 l2\displaystyle l_2라 하자. 직선 l1\displaystyle l_1과 직선 l2\displaystyle l_2가 이루는 예각의 크기를 θ\displaystyle \theta라 할 때, tan⁡θ\displaystyle \tan\theta의 값을 구하시오. (20점)

【3-3】 f(α)−g(α)=4\displaystyle f(\alpha)-g(\alpha)=4를 만족시키는 양의 실수 α\displaystyle \alpha에 대하여 2αeα−1+3∫1αf−1(x) dx\displaystyle 2\alpha e^{\alpha-1}+3\int_1^\alpha f^{-1}(x)\,dx의 값을 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon2_3

+5점 · f(1)=1\displaystyle f(1)=1 또는 (a+b)e=1\displaystyle (a+b)e=1을 구한다.

【3-1】함수 g(x)\displaystyle g(x)가 x=1\displaystyle x=1에서 극솟값을 가지므로g′(1)=f(1)−f−1(1)=0즉, f(1)=1\displaystyle g^{\prime}(1)=f(1)-f^{-1}(1)=0\quad\text{즉,}\ f(1)=1이다. 그러므로(a+b)e=1\displaystyle (a+b)e=1이다.

+10점 · ∫01f(x) dx=13\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\frac13을 구한다.

함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프와 함수 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)의 그래프는 직선 y=x\displaystyle y=x에 대하여 대칭이고 f(0)=0, f(1)=1\displaystyle f(0)=0,\ f(1)=1이므로 정적분과 넓이의 관계에 의하여∫01{f(x)+f−1(x)} dx=1\displaystyle \int_0^1\{f(x)+f^{-1}(x)\}\,dx=1이다. 또 조건으로부터 g(1)=−13\displaystyle g(1)=-\frac13이므로g(1)=∫01{f(x)−f−1(x)} dx=−13\displaystyle g(1)=\int_0^1\{f(x)-f^{-1}(x)\}\,dx=-\frac13이다. 따라서 ∫01f(x) dx=13\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\frac13이다.

+10점 · 관계식 ae+b−2a=13\displaystyle ae+b-2a=\frac13을 구한다.

한편 부분적분법을 이용하면∫01f(x) dx=∫01(ax2+bx)ex dx=ae+b−2a\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1(ax^2+bx)e^x\,dx=ae+b-2a이므로ae+b−2a=13\displaystyle ae+b-2a=\frac13이다.

+5점 · a=13e, b=23e\displaystyle a=\frac1{3e},\ b=\frac2{3e} 또는 ba=2\displaystyle \frac ba=2를 구한다.

그러므로 a=13e, b=23e\displaystyle a=\frac1{3e},\ b=\frac2{3e}이다. 따라서 ba=2\displaystyle \frac ba=2이다.

+5점 · 접선 l1\displaystyle l_1의 기울기를 구한다.

【3-2】함수 f(x)=13e(x2+2x)ex\displaystyle f(x)=\frac1{3e}(x^2+2x)e^x이므로 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (1,f(1))\displaystyle (1,f(1))에서의 접선 l1\displaystyle l_1의 기울기는 f′(1)=73\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac73이다.

+5점 · 접선 l2\displaystyle l_2의 기울기를 구한다.

또 역함수의 미분법에 의하여 곡선 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x) 위의 점 (1,f−1(1))\displaystyle (1,f^{-1}(1))에서의 접선 l2\displaystyle l_2의 기울기는 37\displaystyle \frac37이다.

+10점 · tan⁡θ\displaystyle \tan\theta의 값을 구한다.

직선 l1\displaystyle l_1의 기울기를 tan⁡θ1\displaystyle \tan\theta_1, 직선 l2\displaystyle l_2의 기울기를 tan⁡θ2\displaystyle \tan\theta_2라 하면 tan⁡θ1=73, tan⁡θ2=37\displaystyle \tan\theta_1=\frac73,\ \tan\theta_2=\frac37이고 θ=θ1−θ2\displaystyle \theta=\theta_1-\theta_2이므로tan⁡θ=tan⁡(θ1−θ2)=2021\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{20}{21}이다.

+15점 · ∫1αf−1(x) dx\displaystyle \int_1^\alpha f^{-1}(x)\,dx과 g(α)\displaystyle g(\alpha)의 관계를 구한다.

【3-3】함수 h(x)=f(x)−g(x)\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)라 하면 h(x)\displaystyle h(x)는 증가함수이고 h(1)=43\displaystyle h(1)=\frac43이므로 f(α)−g(α)=4\displaystyle f(\alpha)-g(\alpha)=4인 α\displaystyle \alpha는 α>1\displaystyle \alpha>1이다. 한편 문제의 조건으로부터4=f(α)−g(α)=f(α)−g(1)−∫1αf(x) dx+∫1αf−1(x) dx\displaystyle 4=f(\alpha)-g(\alpha)=f(\alpha)-g(1)-\int_1^\alpha f(x)\,dx+\int_1^\alpha f^{-1}(x)\,dx이므로∫1αf−1(x) dx=103−f(α)+13eα2eα\displaystyle \int_1^\alpha f^{-1}(x)\,dx=\frac{10}3-f(\alpha)+\frac1{3e}\alpha^2e^\alpha이다.

+15점 · 정답 10을 구한다.

그러므로2αeα−1+3∫1αf−1(x) dx=10\displaystyle 2\alpha e^{\alpha-1}+3\int_1^\alpha f^{-1}(x)\,dx=10이다.

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