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자연계열 I 2번

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경북대 2019학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon1_2

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[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 미분가능한 함수 h(x)\displaystyle h(x)에 대하여 t=h(x)\displaystyle t=h(x)로 놓으면∫g(h(x))h′(x)dx=∫g(t)dt\displaystyle \int g(h(x))h^{\prime}(x)dx=\int g(t)dt이다.

(나) 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 닫힌 구간 [−a,a]\displaystyle [-a,a]에서 연속일 때, 이 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여 g(−x)=−g(x)\displaystyle g(-x)=-g(x)이면∫−aag(x)dx=0\displaystyle \int_{-a}^ag(x)dx=0이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

사차함수 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d\displaystyle f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d가 다음 조건을 만족한다. (단, a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d는 상수이다.)

모든 실수 x\displaystyle x에 대하여3f′(x)=(x+3)f′′(x)\displaystyle 3f^{\prime}(x)=(x+3)f^{\prime\prime}(x)이다.

【2-1】 ab\displaystyle \frac ab의 값을 구하시오. (30점)

【2-2】 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 f(3)−f(0)3=f′(α)\displaystyle \frac{f(3)-f(0)}3=f^{\prime}(\alpha)를 만족시키는 실수 α\displaystyle \alpha의 값을 구하시오. (20점)

【2-3】 함수 f(x)\displaystyle f(x)가∫−4−2(sin⁡(x+32)−cos⁡(x+32))2f(x)dx=0\displaystyle \int_{-4}^{-2}\left(\sin\left(\frac{x+3}2\right)-\cos\left(\frac{x+3}2\right)\right)^2f(x)dx=0을 만족시킬 때, f(−3)\displaystyle f(-3)의 값을 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

경북대 2019학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2019su/jayeon1_2

+14점 · a\displaystyle a를 구한다.
+14점 · b\displaystyle b를 구한다.

【2-1】주어진 조건에 의하여f′′(x)f′(x)=3x+3\displaystyle \frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}=\frac3{x+3}이다. 제시문 (가)를 이용하여ln⁡∣f′(x)∣=∫f′′(x)f′(x)dx=ln⁡∣x+3∣3+C1\displaystyle \ln|f^{\prime}(x)|=\int\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}dx=\ln|x+3|^3+C_1이다. 따라서∣f′(x)∣=eln⁡∣f′(x)∣=eC1∣x+3∣3\displaystyle |f^{\prime}(x)|=e^{\ln|f^{\prime}(x)|}=e^{C_1}|x+3|^3이다. f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 최고차항의 계수가 양수이므로4x3+3ax2+2bx+c=f′(x)=eC1(x+3)3\displaystyle 4x^3+3ax^2+2bx+c=f^{\prime}(x)=e^{C_1}(x+3)^3이다. 양변의 계수를 비교하면 a=12,b=54\displaystyle a=12,b=54이므로

+2점 · ab\displaystyle \frac ab를 구한다.

ab=29\displaystyle \frac ab=\frac29이다.

+5점 · f(3)−f(0)3=15×33\displaystyle \frac{f(3)-f(0)}3=15\times3^3을 구한다.

【2-2】[2-1]의 결과로부터f(x)=∫4(x+3)3dx=(x+3)4+C2\displaystyle f(x)=\int4(x+3)^3dx=(x+3)^4+C_2이다. 따라서 f(3)−f(0)3=15×33\displaystyle \frac{f(3)-f(0)}3=15\times3^3

+10점 · f′(α)\displaystyle f^{\prime}(\alpha)를 구한다.

이고 주어진 식으로부터15×34=f(3)−f(0)=3f′(α)=(α+3)f′′(α)=12(α+3)3\displaystyle \begin{aligned}15\times3^4&=f(3)-f(0)=3f^{\prime}(\alpha)\\&=(\alpha+3)f^{\prime\prime}(\alpha)\\&=12(\alpha+3)^3\end{aligned}이다.

+5점 · α=3(1543−1)\displaystyle \alpha=3\left(\sqrt[3]{\frac{15}4}-1\right)을 구한다.

따라서 α=3(1543−1)\displaystyle \alpha=3\left(\sqrt[3]{\frac{15}4}-1\right)이다.

+25점 · f(x)=(x+3)4+C2\displaystyle f(x)=(x+3)^4+C_2일 때, 주어진 적분이 25+2C2\displaystyle \frac25+2C_2임을 구한다.

【2-3】f(x)=(x+3)4+C2\displaystyle f(x)=(x+3)^4+C_2이고 (sin⁡(x+32)−cos⁡(x+32))2=1−sin⁡(x+3)\displaystyle \left(\sin\left(\frac{x+3}2\right)-\cos\left(\frac{x+3}2\right)\right)^2=1-\sin(x+3)이므로∫−4−2(sin⁡(x+32)−cos⁡(x+32))2f(x)dx=∫−4−2(1−sin⁡(x+3))((x+3)4+C2)dx=∫−11(1−sin⁡t)(t4+C2)dt=25+2C2\displaystyle \begin{aligned}\int_{-4}^{-2}\left(\sin\left(\frac{x+3}2\right)-\cos\left(\frac{x+3}2\right)\right)^2f(x)dx&=\int_{-4}^{-2}(1-\sin(x+3))((x+3)^4+C_2)dx\\&=\int_{-1}^1(1-\sin t)(t^4+C_2)dt=\frac25+2C_2\end{aligned}이다.

+5점 · f(−3)\displaystyle f(-3)을 구한다.

조건으로부터 f(−3)=C2=−15\displaystyle f(-3)=C_2=-\frac15이다.

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