자연계열 I 2번

【2-1】주어진 조건에 의하여$\displaystyle \frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}=\frac3{x+3}$이다. 제시문 (가)를 이용하여$\displaystyle \ln|f^{\prime}(x)|=\int\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}dx=\ln|x+3|^3+C_1$이다. 따라서$\displaystyle |f^{\prime}(x)|=e^{\ln|f^{\prime}(x)|}=e^{C_1}|x+3|^3$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 최고차항의 계수가 양수이므로$\displaystyle 4x^3+3ax^2+2bx+c=f^{\prime}(x)=e^{C_1}(x+3)^3$이다. 양변의 계수를 비교하면 $\displaystyle a=12,b=54$이므로$\displaystyle \frac ab=\frac29$이다.

【2-2】[2-1]의 결과로부터$\displaystyle f(x)=\int4(x+3)^3dx=(x+3)^4+C_2$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{f(3)-f(0)}3=15\times3^3$이고 주어진 식으로부터$\displaystyle \begin{aligned}15\times3^4&=f(3)-f(0)=3f^{\prime}(\alpha)\\&=(\alpha+3)f^{\prime\prime}(\alpha)\\&=12(\alpha+3)^3\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha=3\left(\sqrt[3]{\frac{15}4}-1\right)$이다.

【2-3】$\displaystyle f(x)=(x+3)^4+C_2$이고 $\displaystyle \left(\sin\left(\frac{x+3}2\right)-\cos\left(\frac{x+3}2\right)\right)^2=1-\sin(x+3)$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-4}^{-2}\left(\sin\left(\frac{x+3}2\right)-\cos\left(\frac{x+3}2\right)\right)^2f(x)dx&=\int_{-4}^{-2}(1-\sin(x+3))((x+3)^4+C_2)dx\\&=\int_{-1}^1(1-\sin t)(t^4+C_2)dt=\frac25+2C_2\end{aligned}$이다. 조건으로부터 $\displaystyle f(-3)=C_2=-\frac15$이다.