자연계열 1번

[1-1]$\displaystyle x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$이므로$\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle x^2+ax-1$을 $\displaystyle x^2-x+1$로 나누었을 때의 나머지가 서로 같다.

$\displaystyle x^2+ax-1=(x^2-x+1)+(a+1)x-2$이므로$\displaystyle a+1=k+1,\;-2=-k+1$

이고 연립해서 풀면$\displaystyle k=3,\;a=3$이다.

[1-2]$\displaystyle g(x)=ax^3+bx^2+cx+d$라 두자.$\displaystyle x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$이므로$\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$를 $\displaystyle x^2-x+1$, $\displaystyle x^2+x+1$로 각각 나누었을 때의 나머지가 서로 같다.

$\displaystyle g(x)=(x^2-x+1)(ax+a+b)+(b+c)x-a-b+d$

$\displaystyle \phantom{g(x)}=(x^2+x+1)(ax-a+b)+(-b+c)x+a-b+d$

이므로 $\displaystyle b+c=k+1,\;-b+c=-k+1,\;-a-b+d=-k+1,\;a-b+d=-k+1$이다.연립해서 풀면 $\displaystyle a=0,\;b=k,\;c=1,\;d=1$이 되어 $\displaystyle g(x)=kx^2+x+1$이다.

접선의 방정식을 $\displaystyle y=Ax+B$라 두면 접점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle kx^2+x+1=Ax+B$즉, $\displaystyle kx^2+(1-A)x+1-B=0$를 만족한다.이때, 판별식은 $\displaystyle (1-A)^2-4k(1-B)=0$이다. 따라서 $\displaystyle A=1,\;B=1$일 때, $\displaystyle k$의 값에 관계없이 항상 접한다.그러므로 구하고자 하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=x+1$이다.