수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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부산대 2022학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2022su/jayeon_1

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문제

【공통문항 1】다음 제시문을 읽고 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

다항식 f(x)\displaystyle f(x)를 다항식 g(x)  (g(x)≠0)\displaystyle g(x)\;(g(x)\ne0)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)\displaystyle Q(x), 나머지를 R(x)\displaystyle R(x)라 하면 다음 식이 성립한다.f(x)=g(x)Q(x)+R(x)\displaystyle f(x)=g(x)Q(x)+R(x)이때 R(x)\displaystyle R(x)는 상수이거나 R(x)\displaystyle R(x)의 차수는 g(x)\displaystyle g(x)의 차수보다 낮다.

다항식 f(x)\displaystyle f(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1로 나누었을 때의 나머지는 (k+1)x−k+1\displaystyle (k+1)x-k+1이고, x2+x+1\displaystyle x^2+x+1로 나누었을 때의 나머지는 (−k+1)x−k+1\displaystyle (-k+1)x-k+1일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, k\displaystyle k는 0\displaystyle 0이 아닌 실수)

[1-1] 다항식 f(x)\displaystyle f(x)를 x3+1\displaystyle x^3+1로 나누었을 때의 나머지를 x2+ax−1\displaystyle x^2+ax-1이라 할 때, 실수 a\displaystyle a, k\displaystyle k의 값을 각각 구하시오. (10점)

[1-2] 다항식 f(x)\displaystyle f(x)를 x4+x2+1\displaystyle x^4+x^2+1로 나누었을 때의 나머지를 g(x)\displaystyle g(x)라 할 때, k\displaystyle k의 값에 관계없이 함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프와 항상 접하는 직선의 방정식을 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

부산대 2022학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2022su/jayeon_1

+3점 · f(x)\displaystyle f(x)와 x2+ax−1\displaystyle x^2+ax-1를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1로 나누었을 때 나머지가 같다는 것을 안다.

[1-1]x3+1=(x+1)(x2−x+1)\displaystyle x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)이므로f(x)\displaystyle f(x)와 x2+ax−1\displaystyle x^2+ax-1을 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1로 나누었을 때의 나머지가 서로 같다.

+3점 · x2+ax−1\displaystyle x^2+ax-1를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1로 나누었을 때의 나머지를 식으로 표현할 수 있다.

x2+ax−1=(x2−x+1)+(a+1)x−2\displaystyle x^2+ax-1=(x^2-x+1)+(a+1)x-2이므로a+1=k+1,  −2=−k+1\displaystyle a+1=k+1,\;-2=-k+1

+4점 · a\displaystyle a와 k\displaystyle k를 구할 수 있다.

이고 연립해서 풀면k=3,  a=3\displaystyle k=3,\;a=3이다.

+3점 · f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1로 나누었을 때 나머지가 같다는 것과 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)를 x2+x+1\displaystyle x^2+x+1로 나누었을 때 나머지가 같다는 것을 안다.

[1-2]g(x)=ax3+bx2+cx+d\displaystyle g(x)=ax^3+bx^2+cx+d라 두자.x4+x2+1=(x2−x+1)(x2+x+1)\displaystyle x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)이므로f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1, x2+x+1\displaystyle x^2+x+1로 각각 나누었을 때의 나머지가 서로 같다.

+3점 · g(x)\displaystyle g(x)를 x2−x+1\displaystyle x^2-x+1로 나누었을 때의 나머지를 식으로 표현할 수 있다.

g(x)=(x2−x+1)(ax+a+b)+(b+c)x−a−b+d\displaystyle g(x)=(x^2-x+1)(ax+a+b)+(b+c)x-a-b+d

+3점 · g(x)\displaystyle g(x)를 x2+x+1\displaystyle x^2+x+1로 나누었을 때의 나머지를 식으로 표현할 수 있다.

g(x)=(x2+x+1)(ax−a+b)+(−b+c)x+a−b+d\displaystyle \phantom{g(x)}=(x^2+x+1)(ax-a+b)+(-b+c)x+a-b+d

+8점 · g(x)\displaystyle g(x)를 구할 수 있다.

이므로 b+c=k+1,  −b+c=−k+1,  −a−b+d=−k+1,  a−b+d=−k+1\displaystyle b+c=k+1,\;-b+c=-k+1,\;-a-b+d=-k+1,\;a-b+d=-k+1이다.연립해서 풀면 a=0,  b=k,  c=1,  d=1\displaystyle a=0,\;b=k,\;c=1,\;d=1이 되어 g(x)=kx2+x+1\displaystyle g(x)=kx^2+x+1이다.

+8점 · k\displaystyle k의 값에 관계없이 g(x)\displaystyle g(x)의 그래프와 접하는 직선의 방정식을 구할 수 있다.

접선의 방정식을 y=Ax+B\displaystyle y=Ax+B라 두면 접점의 x\displaystyle x좌표는 kx2+x+1=Ax+B\displaystyle kx^2+x+1=Ax+B즉, kx2+(1−A)x+1−B=0\displaystyle kx^2+(1-A)x+1-B=0를 만족한다.이때, 판별식은 (1−A)2−4k(1−B)=0\displaystyle (1-A)^2-4k(1-B)=0이다. 따라서 A=1,  B=1\displaystyle A=1,\;B=1일 때, k\displaystyle k의 값에 관계없이 항상 접한다.그러므로 구하고자 하는 접선의 방정식은 y=x+1\displaystyle y=x+1이다.

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