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부산대 2022학년도 수시 자연계열 기하 · mathesis.kr/archive/pusan/2022su/jayeon_4

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【선택문항 유형2(기하)】다음 제시문을 읽고 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 두 초점 F(c,0)\displaystyle \mathrm F(c,0), F′(−c,0)\displaystyle \mathrm F^{\prime}(-c,0)에서의 거리의 차가 2a\displaystyle 2a인 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.x2a2−y2b2=1(단, c>a>0,  b2=c2−a2)\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(\text{단, }c>a>0,\;b^2=c^2-a^2)

(나) 쌍곡선 x2a2−y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1의 점근선의 방정식은 다음과 같다.y=bax,y=−bax\displaystyle y=\frac ba x,\quad y=-\frac ba x

(다) 삼각형 ABC의 세 변의 길이가 a,b,c\displaystyle a,b,c일 때 다음이 성립한다.a2=b2+c2−2bccos⁡Ab2=c2+a2−2cacos⁡Bc2=a2+b2−2abcos⁡C\displaystyle \begin{aligned}a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A\\b^2&=c^2+a^2-2ca\cos B\\c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C\end{aligned}

삼각형 ABC의 변 a, b, c

(라) 선분 AB의 연장선 위의 점 Q에 대하여AQ‾:BQ‾=m:n(m>0,  n>0,  m≠n)\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}:\overline{\mathrm{BQ}}=m:n\quad(m>0,\;n>0,\;m\ne n)일 때, 점 Q는 선분 AB를 m:n\displaystyle m:n으로 외분한다고 하며, 점 Q를 선분 AB의 외분점이라 한다.

두 초점이 F(c,0)\displaystyle \mathrm F(c,0), F′(−c,0)  (c>0)\displaystyle \mathrm F^{\prime}(-c,0)\;(c>0)인 쌍곡선의 한 점근선이 직선 y=kx  (k>1)\displaystyle y=kx\;(k>1)이다.점 F에서 직선 y=kx\displaystyle y=kx에 내린 수선의 발을 H라 하고 직선 FH가 쌍곡선과 제2\displaystyle 2사분면에서 만나는 점을 P라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

쌍곡선과 점근선, 초점 F에서 내린 수선

[기하-1] k=2\displaystyle k=2일 때, 점 H는 선분 PF의 중점이다.선분 FH가 쌍곡선과 만나는 점 Q에 대하여 FQ‾=43\displaystyle \overline{\mathrm{FQ}}=\frac43일 때, c\displaystyle c의 값을 구하시오. (15점)

[기하-2] 점 P는 선분 FH를 k:1\displaystyle k:1로 외분하는 점임을 보이시오. (15점)

해설강의 준비중

부산대 2022학년도 수시 자연계열 기하 · mathesis.kr/archive/pusan/2022su/jayeon_4

[기하-1]

k=2인 쌍곡선에서 직각삼각형 PF′Q
+5점 · 쌍곡선의 방정식과 점근선의 방정식의 관계를 이용하여 c\displaystyle c를 a\displaystyle a로 나타낸 관계식을 서술한다.

쌍곡선의 방정식을 x2a2−y2b2=1  (a>0,b>0)\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;(a>0,b>0)이라 두면한 점근선의 방정식이 y=2x\displaystyle y=2x이므로 ba=2\displaystyle \frac ba=2 즉, b=2a\displaystyle b=2a쌍곡선의 정의에 의해서 c2=a2+b2=5a2⋯  i)\displaystyle c^2=a^2+b^2=5a^2\qquad\cdots\;\text{i)}

+5점 · 두 삼각형 HOF와 PF′F의 닮음비가 1:2\displaystyle 1:2임을 이용하여 PF′‾=2OH‾=2a\displaystyle \overline{\mathrm{PF}^{\prime}}=2\overline{\mathrm{OH}}=2a임을 서술한다.

삼각형 HOF에서 HO‾=t\displaystyle \overline{\mathrm{HO}}=t라 두면 tan⁡(∠HOF)=2\displaystyle \tan(\angle\mathrm{HOF})=2이므로 HF‾=2t\displaystyle \overline{\mathrm{HF}}=2t이고,피타고라스정리에 의해서 c2=t2+(2t)2=5t2\displaystyle c^2=t^2+(2t)^2=5t^2ⅰ)에 의해서 t=a\displaystyle t=a 즉 HO‾=a,  HF‾=2a\displaystyle \overline{\mathrm{HO}}=a,\;\overline{\mathrm{HF}}=2a삼각형 HOF와 삼각형 PF′F는 닮음이고 닮음비가 1:2\displaystyle 1:2이므로PF′‾=2a\displaystyle \overline{\mathrm{PF}^{\prime}}=2a이다.

+5점 · 쌍곡선의 정의를 이용하여 직각삼각형 PF′Q의 세 변의 길이를 한 문자로 나타내고 c\displaystyle c의 값을 구한다.

따라서 쌍곡선의 정의에 의해서QF′‾−QF‾=PF‾−PF′‾\displaystyle \overline{\mathrm{QF}^{\prime}}-\overline{\mathrm{QF}}=\overline{\mathrm{PF}}-\overline{\mathrm{PF}^{\prime}} 즉, QF′‾=43+4a−2a=43+2a\displaystyle \overline{\mathrm{QF}^{\prime}}=\frac43+4a-2a=\frac43+2a삼각형 PF′Q는 직각삼각형이므로(43+2a)2=(2a)2+(4a−43)2\displaystyle \left(\frac43+2a\right)^2=(2a)^2+\left(4a-\frac43\right)^2a2=a\displaystyle a^2=a따라서 a=1  (a>0)\displaystyle a=1\;(a>0)그러므로 ⅰ)에 의해서 c2=5a2=5\displaystyle c^2=5a^2=5가 되어c=5\displaystyle c=\sqrt5이다.

[기하-2]

일반적인 k에서 각 PFF′
+3점 · 쌍곡선의 방정식과 점근선의 방정식의 관계를 이용하여 c\displaystyle c를 a\displaystyle a와 k\displaystyle k로 나타낸 관계식을 서술한다.

쌍곡선의 방정식을 x2a2−y2b2=1  (a>0,b>0)\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;(a>0,b>0)이라 두면한 점근선의 방정식이 y=kx\displaystyle y=kx이므로 k=ba\displaystyle k=\frac ba 즉, b=ak\displaystyle b=ak쌍곡선의 정의에 의해서 c2=a2+b2=a2(1+k2)⋯  ii)\displaystyle c^2=a^2+b^2=a^2(1+k^2)\qquad\cdots\;\text{ii)}

+4점 · 삼각형 HOF에서 ∠PFF′=α\displaystyle \angle\mathrm{PFF}^{\prime}=\alpha에 대한 cos⁡α=akc\displaystyle \cos\alpha=\frac{ak}c임을 서술한다.

원점을 O, ∠PFF′\displaystyle \angle\mathrm{PFF}^{\prime}을 α\displaystyle \alpha라 하자.삼각형 HOF에서 HO‾=t\displaystyle \overline{\mathrm{HO}}=t라 두면 tan⁡(∠HOF)=k\displaystyle \tan(\angle\mathrm{HOF})=k이므로 HF‾=tk\displaystyle \overline{\mathrm{HF}}=tk이고,피타고라스정리에 의해서 c2=t2+t2k2=t2(1+k2)\displaystyle c^2=t^2+t^2k^2=t^2(1+k^2)ⅱ)에 의해서 t=a\displaystyle t=a 즉 HO‾=a,  HF‾=ak\displaystyle \overline{\mathrm{HO}}=a,\;\overline{\mathrm{HF}}=ak이고cos⁡α=akc⋯  iii)\displaystyle \cos\alpha=\frac{ak}c\qquad\cdots\;\text{iii)}

+4점 · 쌍곡선의 정의와 코사인법칙을 이용하여 삼각형 PFF′에서 cos⁡α\displaystyle \cos\alpha의 값을 표현한다.

삼각형 PFF′에서 PF‾=p\displaystyle \overline{\mathrm{PF}}=p이면 PF′‾=p−2a\displaystyle \overline{\mathrm{PF}^{\prime}}=p-2a이고cos⁡α=4c2+p2−(p−2a)22×2c×p⋯  iv)\displaystyle \cos\alpha=\frac{4c^2+p^2-(p-2a)^2}{2\times2c\times p}\qquad\cdots\;\text{iv)}

+4점 · cos⁡α\displaystyle \cos\alpha의 값을 비교하여 점 P가 선분 FH를 k:1\displaystyle k:1로 외분하는 점임을 서술한다.

ⅱ), ⅲ), ⅳ)에서akc=4c2+p2−(p−2a)22×2c×p\displaystyle \frac{ak}c=\frac{4c^2+p^2-(p-2a)^2}{2\times2c\times p}kp=a(1+k2)+p−a,  (k−1)p=ak2\displaystyle kp=a(1+k^2)+p-a,\;(k-1)p=ak^2따라서 p=ak2k−1\displaystyle p=\frac{ak^2}{k-1}PF‾:PH‾=ak2k−1:ak2k−1−ak=ak2:ak=k:1\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{PF}}:\overline{\mathrm{PH}}&=\frac{ak^2}{k-1}:\frac{ak^2}{k-1}-ak\\&=ak^2:ak\\&=k:1\end{aligned}이므로 점 P는 선분 FH를 k:1\displaystyle k:1로 외분하는 점이다.

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